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15个著名的超越数

2015-05-29 21:44阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1072626812

15个著名的超越数


http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/trans.html



作者 Cliff Pickover


1844年，法国数学天才刘维尔Joseph Liouville (1809-1882)首先证明超越数的存在。


（更准确地说，他首先证明某个具体的数是超越数）。


1873年，法国埃尔米特Chares Hermite（1822-1801） 证明e是超越数。1882年德


国数学家 Lindeman证明pi是超越数。
数学常数pi表示圆周长与直径之比，这是地球上和宇宙中任何先进文明中最著名的比值。它和e=2.718. 。。。一样，都是超越数。


超越数就是不能表示成有理数系数的任意代数方程的根。就是说，π不能准确满足


形如： π^2 = 10, 或 9π^4
- 240π^2 + 1492 = 0 这些类型的方程。这些方程


包括简单的π的整数幂。π和e可以表示成无穷连分数或无穷级数的极限。著名的比值


355/113精确到小数位6位。


1882年德国数学家 F. Lindemann证明了π是超越数，结束了2500年以来的推测。


事实上他证明了π超越了用代数幂来表示的可能。它不能用有限算术级数或代数运算


来表示。用固定大小字体，即使用宇宙那么大的纸张也写不完。


你们之中大概都知道π和e是超越数，不过其它的超越数听说过吗？下面我列出16个


著名的超越数：


1. π = 3.1415 ...


2. e = 2.718 ...


3.欧拉常数Euler-Mascheroni , gamma = 0.577215 ... = lim n -> 无穷大 > (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n))
(它尚未被证明为超越数，但普遍相信它是超越数。)
http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html


4. 卡塔兰（ Catalan）常数, G = sum (-1)^k / (2k + 1 )^2 = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ...


(它尚未被证明为超越数，但普遍相信它是超越数。)




5. 刘维尔数 Liouville's number 0.110001000000000000000001000.....


小数点后第1位，第2位 ，第6位，第24位是1， ...等等，其余为0 。




6. 蔡廷（Chaitin）常数, 随机算法停止的概率。此数不仅是超越数而且是不可计算的数。


.蔡廷常数（chaitin's constant Ω）是一个能够定义却无法计算的实数。


　1975 年，计算机科学家格里高里·蔡廷（Gregory Chaitin）研究了一个很有趣的问题：


任意指定一种编程语言中，随机输入一段代码，这段代码能成功运行并且会在有限时间 里


终止（不会无限运行下去）的概率是多大。他把这个概率值命名为“蔡廷常数”


（Chaitin's constant）。这听起来有点不可思议，但事实上确实如此——蔡廷常数是 一个


不可计算数（uncomputable number）。也就是说，虽然蔡廷常数是一个确定的数 字，但


现已在理论上证明了，你是永远无法求出它来的。尽管蔡廷常数算不出来，不过我 们却知道


蔡廷常数是什么。它有一个明确的定义 .


7. 钱珀瑙恩数Chapernowne数, 0.12345678910111213141516171819202122232425...


小数部分用正整数数字连接起来而构成。你能明白这个类型的数吗？


钱珀瑙恩（R.G.Champernowne[1912-2000]英国经济学家和数学家，他于1933年


在剑桥大学学习期间发表了此一人为构造的常数，故因他而命名。）


8. zeta 函数特殊值,如 zeta (3). (超越函数通常可在有理点给出超越数结果）。


9. ln(2).


10. 希尔伯特数, 2^(√2 ). 其所以叫Hilbert数，是源于希尔伯特著名问题之一，不管


证明它是否超越数 。事实上，按照 Gelfond-Schneider定理，任何形如ab的数是超越


数，其中a与b是代数数 (a不为0或1），且b不是有理数。许多非零代数数的三角函数或双曲


函数都是超越数。）



11. e^π


12. π^e (尚未证明为超越数，但数学家们普遍相信它是超越数。）




13. 莫尔斯-修 数 Morse-Thue's number, 0.01101001 ...


14. i^i = 0.207879576... ( i 是虚数，即根号-1 。是不是很美？）


有多少人曾考虑过 i 的 i 次幂？如果a是代数数，b是代数数且是无理数，则a^b是超越数。


因 i 是代数数且是无理数，应用定理可知i的i次幂是超越数。同时应注意到i的i次幂等于


e^(- π / 2 ) 和若干其它值，又因 i^i =e ^(i log i)=e^( i 乘i π/2） ， 由于 log是多值的，


故 i ^ i 还有其它可能的值。


此值的计算步骤介绍如下：


(1). 因 e^(ix) = Cos x + i Sin x, 故令 x = π/2.


(2) 则 e^(iπ/2) = i = Cosπ/2 + i Sin π/2; since Cos π/2 = Cos 90 度 = 0.


而


Sin 90 = 1


i Sin 90 度= (i)*(1) = i.


(3). 所以 e^(iπ/2) = i.


(4).两边取 i 次幂 ,右边为 i^i ，


左边 =


[e^iπ/2)]^i


= e^(-π/2).


(5). 所以 i^i = e^(-π/2) = .207879576...




15.费根鲍姆（ Feigenbaum）数, 4.669 ... .


(这是有关周期加倍的动态系统的性质的数。周期加倍二异状态参数之间的递差比值


近似于4.669......, 在许多物理系统中在进入混沌状态之前就已经发现此值。它尚未被


证明为超越数，但普遍相信它是超越数。）


澳大利亚墨尔本大学数学系的Keith Briggs 据说算出了创世界纪录的费根鲍姆数的


位数：


4. 669201609102990671853203820466201617258185577475768632745651


343004134330211314737138689744023948013817165984855189815134
408627142027932522312442988890890859944935463236713411532481
714219947455644365823793202009561058330575458617652222070385
410646749494284981453391726200568755665952339875603825637225


他用了 NASA Ames的David Bailey设计的专用软件在 IBM RISC System/6000计算机 计算，计算时间花了几个小时。


蚂蚁和超越数 Ants and Transcendental Numbers
设想有一窝会说话的蚂蚁。蚂蚁们可以用有趣的方法压缩 π 的无穷位数。假定蚂蚁可以用天然的下颚来说话。长长队列中的第一只蚂蚁尖叫喊出第一位数“3”，第二只喊接着的“1”，再下一只喊“4”，等等。再想象每只蚂蚁按次序，后一只喊的时间为前一只的一半，每只蚂蚁都轮到喊。任意时间轮到该位的时间。如果第一位要求时间为30秒（因为蚂蚁的笨下颚和小大脑），整个蚂蚁部落在一分钟之内能说完所有的位数吗？（再交代一下，由于无穷和：1/2分钟+1/4分钟+1/8分钟+...=1分钟），令人吃惊的是，一分钟的最后将有一只快嘴蚂蚁说出 π 的最后一位数！几何学之神听到最后的位数会大喊：


“不可能，因为 π 没有最后一位！”



多蒂（Dottie）数


Dottie数是 cosx = x 的唯一实根，即余弦函数的唯一fixed点，它等于0.739085... (图）
15个著名的超越数



法国的一位普通女数学教授Dottie在用计算器时输入一个数（0到1之间的任意数）[弧度单位]，并多次重复按下cos键，她发现结果总是这个值。


[我在电脑Windows系统自带计算器上试验：选弧度单位〉输入0.然后按cos键重复33次左 右，即出现0.739085....然后又输人1，再重复按cos键33次左右，也同样出现0.739085...


请你输入0.5弧度，重复按cos键33次左右，试试看，结果如何？ 延年松鹤注。]
哇！此数是鼎鼎大名的数，早在1880年代晚期已经出现在许多代数基本著作中了。
Dottie数是个Lindemann-Weierstrass定理结论中的超越数。这里的介绍源于《MathWorld》。




用Windows自带计算器，选弧度单位，输入从0到1之间的任意数，然后重复按cos键33次后即出现多蒂数0.739085........


此外，计算机计算的数学常数，还有，如：
双纽线常数 lemniscate constant= 2.62205755429...
高斯Gauss常数=0.8346.....
http://mathworld.wolfram.com/LemniscateConstant.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_constant
于 2014-01-31

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