数学海洋中智慧故事（十二）——分牛问题
2011-09-13 12:01阅读：
《分牛问题》
【问题题目】：
一个人把一群牛分给他的儿子们，给长子的是一头牛又余下的1/7，给次子的是二头牛又余下的1/7，给三儿子的是三头牛又余下的1/7，给第四个儿子四头牛又余下的1/7，如此类推，他就这样把整个牛群一个不剩的分给了他的儿子们，问他有几个儿子，有多少头牛？
【问题分析】：
根据题目的意思，最后一个儿子分得的牛必然是前面那个儿子剩余的牛数，也就是剩余的6/7。则最后一个儿子分得到牛数必然是6的倍数
。同时我们也可以知道最小的儿子分得的牛数一定等于这个人的儿子数，因为他后面再没有比他小的儿子了，后面的余数肯定是
0。
假设最小儿子得到的牛数是6，也就是说这个人有6个儿子。则，因为第5个儿子分得的牛数＝5+剩余的1/7，而第6个儿子分得的牛数＝6+前面剩余的6/7，所以最后两个儿子分得的牛数＝5+剩余的1/7+6+剩余的6/7＝12，即第5个儿子得到的牛也是6。
由于第6、5两个儿子一共得到的牛是12，这个数也就是第四个儿子分牛后剩余的6/7，即第4个儿子分牛后剩余的牛数为12/（6/7）＝14。则第4个儿子得到的牛数是4+14×1/7＝6。则第6、5、4三个儿子分得的牛数是18，这个数也就是第三个儿子分牛后剩余的6/7，即第3个儿子分牛剩余的牛数是18/（6/7）＝21。则第3个儿子得到的牛数是3+21×1/7＝6。以此类推，每个儿子分得的牛数都是6，一共是6×6＝36头牛，即他有6个儿子，36头牛。
前面我们用6推算。如果是6的2倍12呢？
也就是他有12个儿子，第12个儿子得到的牛是12头，这个数应该是第11个儿子分掉11头牛后还剩余12头，则12/（6/7）＝14头，也就是说第11个儿子分到的牛是11+14×1/7＝13头牛，两个儿子一共是12+13＝25头牛。这个数应该是第10个儿子分掉10头以后剩余数的6/7,即25/（6/7），不能带除，即这个人不可能有12个儿子。再比如6的3倍18、4倍24,显然不可能。
【问题答案】：
解：根据题意，最后一个儿子分得到牛数必然是6的倍数。由于牛数不定，所以可以进行讨论：
①若最小的儿子分的6头牛，也就说这个人共有6个儿子。
第5个儿子分得：5+1/7（6÷6/7）=6，
第4个儿子分得：4+1/7（12÷6/7）=6，
第3个儿子分得：3+1/7（18÷6/7）=6，
第2个儿子分得：2+1/7（24÷6/7）=6，
第1个儿子分得：1+1/7（30÷6/7）=6
②若最小的儿子分的12头牛，也就说这个人共有12个儿子。
第11个儿子分得：11+1/7（12÷6/7）=13，
第10个儿子分得：10+1/7（25÷6/7）不是整数，
③若最小的儿子分的18头牛，也就说这个人共有18个儿子。
第17个儿子分得：17+1/7（18÷6/7）=20，
第16个儿子分得：16+1/7（38÷6/7不是整数），
其余都不可能。
所以，这个人共有6个儿子，36头牛。
【问题总结】：
如果设这个人有6n个儿子，最小的儿子分的36n头牛，则
第6n个儿子分得：
6n，
第6n-1个儿子分得：6n -1+1/7（6n÷6/7）= 7n -1 ，
第6n-2个儿子分得：n -2+1/7［（6n+7n -1）÷6/7］
=n-2+1/7（13n-1）×7/6
=n-2+（13n-1）/6
其中13n-1=12n+n-1，12n能被6整除， n-1必须被6整除，才有13n-1能被6整除，所以，n-1=6k，k为
自然数，即n=6k+1，所以n=1，7，13，19，……（k=0，1，2，3，……）
所以，这个人可能有6个儿子，36头牛；可能有42个儿子，252头牛；可能有78个儿子，468头牛；可
能有114个儿子，684头牛，……
从理论上来讲有无数组答案，但从现实角度，人类自古到今，一个人有儿子的最大可能性，不可能超
过第三种可能性。因此，从现实来讲，一个人有6个儿子还是现实的，有42、78个儿子以及以上不现实。
【问题扩展】：
〖扩展1〗：农场主人在死后，将17匹马遗留给儿子们，遗嘱里写着「大儿子分得二分之一，三分之一归给二儿子，其余给小儿子，他可得到九分之一」。三个儿子实在困恼，就是不知道该怎么分，也不必白白将一头马给杀了，这的确是很头大的事。
父亲的好友知道兄弟间无法遵照着父亲的遗嘱顺利分配马匹时，特地前来说明其父生前曾借给他一匹马，就先还给他们，等遗产分配完后，倘有剩余再送还他。结果是令大家都满意的，你知道怎么分的吗？
最后，在18匹马中，大儿子分到９匹、二儿子分到６匹、小儿子分到２匹，剩下１匹又还给了父亲的朋友。问题解决了，马也回到父亲好友身边，好完美的结局。
〖扩展2〗：有一个老人死了写了遗嘱 ：大儿子分羊的一半， 二儿子分羊的1／3 ，最小的儿子分羊的1／9
，现在有17只羊，怎么分？
解法一：找到它们之间的常数，设常数为X，那么列出式子：
1/2*X+1/3*X+1/9*X=17
所以常数为18
那么大儿子为1/2*X=9
二儿子为1/3*X=6
小儿子为1/9*X=2
解法二：借来一只羊，一共是18只，这样
大儿子分羊的一半，是9只；
二儿子分羊的1／3 ，是6只；
最小的儿子分羊的1／9 ，是2只；
三个儿子刚好共分得9＋6＋2＝17只，再还掉那只羊就行了。
〖扩展3〗：100只狐狸抓到了100只鸡，每只大狐狸分3只鸡，每3只小狐狸分1只鸡，刚好把鸡分完。
请问大狐狸、小狐狸个有多少只？
解：设大狐狸有x只，则小狐狸有100-x只
3x+1/3（100-x）=100
x=25
100-x=100-25=75
大狐狸有25只，则小狐狸有75只。
【问题感悟】：
对问题的分析，需要找突破口。突破口就是解决问题的钥匙。对分牛问题而言，从最小儿子分析入手就是解决此题的突破口。对分马问题而言，找到二分之一、三分之一、九分之一的分母最小公倍数，就是利用算数法解决问题的突破口。对代数解法而言，能够找到等量关系，适当设出未知数就是突破口。
【轻松一刻】：缅甸 农夫为国王分鸡
缅甸有个贫穷的农夫，希望有朝一日能富裕起来。一天他拿了一只公鸡，把它献给国王。
国王笑道：“一只公鸡对我来说是微不足道的礼物。我一家六口：我、王后、我的两个儿子和两个女儿。我们怎么分这只公鸡呢？”
农夫割下鸡头献给国王，说：“陛下是一国之首，所以请收下鸡头这份厚礼。”接着割下鸡背上的肉，说：“这个献给王后——王后的背负着全家的重担。”又割下两只鸡脚，说：“这两只给两个王子。他们将踏着你的足迹，登上统治者的宝座。”
随后，割下两只翅膀说：“让两个公主每人得到一只翅膀，因为她们有朝一日出嫁时，就要同她丈夫一起远走高飞。剩余的部分是属于我的，因为我是陛下的客人，而主人有义务用最好的食品招待来客。”
国王听了农夫机智的回答非常满意，便赏给他许多金银和宝石。有个贪婪成性的人，了解到农夫发迹的经过后，就带着五只公鸡来到王宫，对国王说：“小人敬献五只公鸡问候陛下。”
国王一眼便看出此人的来意，就说：“我很乐意接受你的五只公鸡，但我一家有六口人，假如你能公平合理地把它们分给我们，我就大大嘉奖你。”贪心的男人不知道如何分配。他悔恨自己不该带五只公鸡，而应该带六只来。
国王差人把农夫招来，让他分。
农夫泰然自若地说：“陛下，这好办：一只公鸡献给陛下和王后，另外一只献给两位王子，第三只属于两位公主。剩下的两只公鸡属于我自己，因为我是陛下的贵客。这是分配公鸡的唯一合理的方法，因为陛下、王后和另一只公鸡加起来等于三，陛下的两位王子和一只公鸡加起来等于三，陛下的两位公主和一只公鸡加起来等于三，而我和剩余的两只公鸡加起来也等于三。“国王非常满意，赏给农夫两只公鸡，还给了他一大笔奖赏。而那个贪财的男人却两手空空，扫兴而归。
【题后赠言】：
很多解决问题的方法需要自己亲自去体验，然后需要自己不断地归纳总结，在自己的学习时间中不断运用，最终才能成为自己的方法，才能融入到自己的大脑深处。
【数字知识】：“十二”的知识
亚洲十二大河流：长江、黄河、湄公河、黑龙江、勒拿河、叶尼塞河、鄂毕河、萨尔温江、印度河、锡尔河、幼发拉底河、恒河
世界十二大瀑布：委内瑞拉的安赫尔瀑布、非洲南部的图格拉瀑布、坦桑尼亚和赞比亚的卡兰博瀑布、美国加利福尼亚的约塞米蒂瀑布、圭亚那和委内瑞拉间的库克南瀑布、新西兰的索恩兰瀑布、澳大利亚新南威尔士州的沃洛蒙的加瓦林瀑布、印度迈索尔德格拉索帕瀑布、赞比亚和津巴布韦间的维多利亚瀑布
自然科学的十二大发现：毕达哥拉斯于公元前五百年发现的毕达哥拉斯定理（中国称勾股定理）、哈维于一六二八年发现的血液循环、哥白尼于一五四三年创立的日心说、牛顿于一六八七年发现的万有引力定律、琴纳于一七九六年发现的种痘免疫、富兰柯林于一七五二年发现的雷中带电、巴斯德于一八八一年发现的狂犬病疫苗、达尔文于一八五八年发现的生物进化规律、伦琴于一八九五年发现的x射线、居里夫人于一八九八年发现镭、弗莱明于一八二八年发现的青霉素、爱因斯坦于一九零五年到一九一五年减发现的空间时间物质运动的统一关系，分别创立狭义相对论和广义相对论。
我国古琴十二大名曲：《阳春白雪》、《高山流水》、《胡笳十八拍》、《广陵散》、《阳关三迭》、《梅花三弄》、《潇湘水云》、《渔樵问答》、《醉渔唱晚》、《平沙落雁》、《十面埋伏》、《春江花月夜》
人体十二脏：心、肝、脾、肺、肾、膻中、胆、胃、大肠、小肠、三焦、膀胱
人体十二经脉：手足三阴三阳十二经,包括手阳明、手少阳、手太阳、手太阴、手厥阴、手少阴、足阳明、足少阳、足太阳、足阴、足厥阴、足少阴
十二生肖：鼠、牛、虎、兔、蛇、龙、马、羊、猴、鸡、狗、猪
花木十二客：牡丹为贵客、梅为清客、菊为寿客、瑞香为佳客、丁香为素客、兰为幽客、莲为静客、茶为雅客、桂为仙客、蔷薇为野客、茉莉为远客、芍药为近客
黄道十二宫：白羊座、金牛座、双子座、巨蟹座、狮子座、处女座、天秤座、天蝎座、人马座、摩羯座、宝瓶座和双鱼座。
金陵十二钗：林黛玉、薛宝钗、史湘云、王熙凤、贾迎春、贾惜春、贾元春、贾探春、秦可卿、李纨、妙玉、贾巧姐
春秋十二大诸侯国:鲁国、齐国、晋国、秦国、楚国、宋国、卫国、陈国、蔡国、曹国、郑国、燕国
我国古代十二个活到古稀之年的帝王：吴大帝孙权（70）、后燕慕容垂（70）、梁武帝萧衍（85）、武周武则天（81）、唐玄宗李隆基（77）、吴越王钱谬（80）、楚王马殷（78）、前蜀王王建（71）、宋高宗赵构（80）、元世祖忽必烈（79）、明太祖朱元璋（70）、清高宗弘历（88）
【数学历史】：中国数学数学史上的世界第一（一）
公元147年，希腊遭受罗马军团毁灭性的进犯，而使得其文明遭到严重的浩劫，而逐渐陨殁，此时东方中国的文明却如日中天，接下来一千多年的数学史便在中国屡创佳绩下，而独步全球，并做出最大的贡献。事实上，早在春秋、战国时期，中国在数学便已有领先全世界的发展，只是在秦始皇焚书坑儒下，许多伟大的著作已无法详查。以下我们将对首先由中国在数学上的发明作概略的说明：
1、十进制记数法与筹算之术 根据「结绳而治」和「契木为文」的传说，则史前已有数。夏代以十日为旬，商代甲文金文用十三个单字词记录十万以内的任何自然数，都标志着我国早已采用十进制。这种以九个数码跟位值成分十、百、千、万相结合的十进制记数法，要比古埃及的累积法、罗马的减乘式构数法、苏美人的六十进制制、马雅人的不固定进位制优越得多。筹算是我国古代的计算工具。「筹」即小竹棍或小木棍﹝也有用骨或金属材料制成的﹞，古人用它来进行计算，称为筹算。用筹算来记数和四则运算很可能在西周时期已经开始了，当时的人还能把十进制值制贯穿于筹算之中，战国时期老子说过：“善算者不用筹策”。可见那时算筹已经是很普遍的计算工具了。
用筹算来表示数目，有两种形式：一是纵式的，另一是横式的。它们的具体摆法如下图：
筹算表示图
算筹的发明与广泛使用，对我国古代数学的快速发展有很大的影响。
2、二进制与阴阳八卦 《周易．系辞上》：「易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。」阴、阳两仪，其爻一虚一实。撇开其神秘色彩，则阴即偶数，阳即奇数，而两仪、四象、八卦，适成几何级数；再排列可成六十四卦，发明微积分和计算器的德国数学家莱布尼兹从邵雍对六十四卦的排列中看出了二进制记数法，他曾与康熙帝通信，把二进制的发明归功于朱熹及其门人蔡元定，他从蔡氏《周易折中．启蒙》中的先天图出发，指出作为当代电子计算器数学细胞的二进制，开创于伏羲。
3、最早的几何学 传说夏禹治水时「行山表木，……左准绳，右规矩」《史记》，说明几何始于勾股测量。战国时《墨经》中的几何学，可媲美古希腊欧几里得《几何原本》。实际上墨家几何学的立论更为精辟。如定义平（平行）、中（对称）、圜〈圆〉、方（矩形）、端（点）、秪（切点）、次（二维）、厚（三维）等等，都很确切。因而可以说，墨家几何学是世界上最早的几何学系统，比欧氏几何早约100年。《墨经》中有一句话说：「穷，或有前，不容尺也。」这句话的意思便是说：「如果一条直线是有限长的，那么用尺测量，一定可以超出这条直线。」这也就是著名的“阿基米得公理”而墨家撰写《墨经》的时间，也比阿基米得早约一百年左右。
4、最早的勾股定理 勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究，希腊著名数学家毕达哥拉斯曾对本定理有所研究，故西方国家均称此定理为勾股定理，发现时间约在公元前550年左右，《周髀算经》用商高回答周公旦提问的方式陈述了此定理“勾三股四弦五”这是世界历史上对勾股定理的最早陈述，比毕达哥拉斯的发现还要早。
汉赵爽用勾股圆方图对勾股定理作了严格而又巧妙的证明。
