雅可比矩阵
以m个n元函数u=ui(x1, x2, ..., xn)的偏导数
(其中,i=1,..,m;
j=1,...,n)为元素的矩阵:
以m个n元函数u=ui(x1, x2, ..., xn)的偏导数
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该方程组是一个关于微分的线性方程组,中其系数矩阵即是上面的雅可比矩阵, 记为J, 因此可写成矩阵形式:
应用一:机器人学
下图是一个两自由度的平面机械手
容易求得未端点的位置为:
对其微分, 可得:
写成矩阵形式:
简写为dx=Jdθ, 其中的J称之为机械手的雅可比矩阵,反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动dx之间的关系.
它可看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比,同时也可用来表示两空间之间力的传递关系.
因此, 机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换,v为机械手未端在操作空间的广义速度, 或称操作速度, w为关节速度.
以上可以扩展到三维空间多自由度的情形.
应用二，非线性最小二乘
则问题为函数：
F(x)在xk 处的泰勒展开为：
这里的
根据牛顿法有：
由于
因此，步长