如果告诉你“把一个球体分成5部分，再把这五部分重新旋转平移后可以组成2个和原来一模一样的球体”，你一定认为这是不可能的。这个神奇的结论被称为巴拿赫-塔斯基分球悖论。
1、巴拿赫-塔斯基分球悖论中的过程，是一个数学上（注意是在数学上，而不是真实物理世界中）在三维几何空间中能够真实发生的过程。
2、这个过程仅包括平移和旋转，并没有把球体以及其任何一部分进行拉伸、扭曲或者压缩。
3、这个过程重新组合后形成的两个新球体每个都是和原球体一模一样的，并不是说2个新球体里面充满空洞仅仅是看起来像原来的球体。
用群论、集合论以及勒贝格测度，证明了巴拿赫-塔斯基分球过程。
关键不是证明，而是由此带来的选择公理。在集合个数有限的时候甚至是可数无限的时候，选择公理都不存在争议；可是当集合个数是不可数无限的时候，就很难说明它为什么仍然成立了。
对于不可数无限多集合来说，选择公理是否成立本质上是人们规定的。
对于市场交易，从社会发展来看，其集合个数是有限的，所以可选择公理。就如前面哥德尔不完全定理所说缠论的公理无法自证。
但非选择公理的一些数学证明还是极为实用，如证明了一个空间存在2个维度，在缠论的背驰就有很大的意义。
1、巴拿赫-塔斯基分球悖论中的过程，是一个数学上（注意是在数学上，而不是真实物理世界中）在三维几何空间中能够真实发生的过程。
2、这个过程仅包括平移和旋转，并没有把球体以及其任何一部分进行拉伸、扭曲或者压缩。
3、这个过程重新组合后形成的两个新球体每个都是和原球体一模一样的，并不是说2个新球体里面充满空洞仅仅是看起来像原来的球体。
用群论、集合论以及勒贝格测度，证明了巴拿赫-塔斯基分球过程。
关键不是证明，而是由此带来的选择公理。在集合个数有限的时候甚至是可数无限的时候，选择公理都不存在争议；可是当集合个数是不可数无限的时候，就很难说明它为什么仍然成立了。
对于不可数无限多集合来说，选择公理是否成立本质上是人们规定的。
对于市场交易，从社会发展来看，其集合个数是有限的，所以可选择公理。就如前面哥德尔不完全定理所说缠论的公理无法自证。
但非选择公理的一些数学证明还是极为实用，如证明了一个空间存在2个维度，在缠论的背驰就有很大的意义。