1、周期信号的相量表示法
单正弦周期信号可表示为
，其中，D为直流分量，B为正弦幅值，ω为角频率，
ω=2pi/T，T为信号周期。
2、周期信号的傅立叶级数
单正弦周期信号可表示为
2、周期信号的傅立叶级数
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cos函数是一个正交函数集，函数集内所有不同频率pω0的函数相乘后在一个整周期内积分值为零，相同频率的函数相乘后在一个整周期内积分值为1，另外根据三角函数的积化和差公式可以得出：如果是偶函数可以只计算cos部分，虚部为零，如果是奇函数仅计算sin部分，实部为零。即，在一个整周期内，将一个正交函数族cos(pw。t)与被求函数做相关运算，只有在两个函数相关系数为1的情况下，说明他们频率相同，求得的系数即为傅里叶系数。比如偶函数cos(ω0t)的傅立叶系数为1/2.
一个周期矩形脉冲信号，脉宽T，周期为T0，幅值为A，可求得其傅里叶系数为：
在频域上是一个离散频谱，p=0为直流分量，整个图形包络为sinc(p*pi*T/T0) 函数， 也就是说周期矩形脉冲是由无数个基频ω0整数倍的单频正弦信号组成
sinc函数的自变量P为傅里叶级数的频率或谱线数，谱线间隔2π/T0，Sinc（p*pi/β）函数的角频率,在p=β,2β,3β……时，其值为0。即主瓣的宽度为-2π/T～2π/T。
一个余弦信号，幅值为A，频率为pω0
是一个在实轴上的δ-函数。在f=pω0Hz时，幅值为0.5。在实轴上。虚部为零。
一个正弦信号，幅值为A，频率为pω0
一个相位pi/4的正弦信号也是一个δ-函数。在实轴和虚轴上都有值。在f=pω0Hz时，幅值为0.3536*(1-j)。
即，一个实数信号的傅里叶级数是一个复数，由实部（cos波形）和虚部（sin波形）构成。在用Matlab计算fft时，实部和虚部都是对称的，只需要计算0～N/2个点，也就是采样频率的一半即可
3、瞬态信号的傅里叶变换
脉宽T不变，当信号周期T0逐渐增大，
比较以上两式，周期信号的频谱与瞬态信号的谱密度有相同的包络。当β＞10时尤其准确。这样就可以使用周期信号的傅里叶级数来计算瞬态信号的傅里叶谱密度。将离散频谱转为连续谱密度函数。
将W(ω)近似看做一个宽度为
在X(w)上任取一个频率点v=w1，则，W(ω)不为零的区间为–πB≤ω1-v≤πB，卷积结果为
即，ω1点的值为以ω1为中心的一个X(ω)均值。相当于一个低通滤波器。滤波器的核为sinc-函数。
根据卷积定理，时域的乘积可以看做频域的卷积。矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个连续函数，
x(t)的傅里叶变换（周期信号的傅里叶级数，最大周期T）是一个离散序列。两者进行卷积，每一根离散谱线相当于一个频移的δ-函数，卷积的结果就是一个频移的窗函数频谱。这样当Nc不是ω0的整数倍时，窗函数频谱就泄露到了Xp上。理论上能够分辨出来的最小频率完全取决于窗的长度T（2π/T ）。单频正弦信号sin(ωcx)的频谱为单一频谱Xp，可以看做一个δ-函数δ(ω-ωc)。其频域卷积
就是说频率为ωc的单频正弦信号（第Nc根谱线），其频谱经加窗后变成一个平移的窗函数频谱。其主瓣宽度4pi/T，这里的T是窗函数的有效宽度，也是所要分析的信号的宽度，即信号的基本周期。如果T=1s，则主瓣宽度为4pi或者2Hz，所能分析出的信号X的最小频率是2pi/T=2pi，或1Hz。如果ωc是整数，则窗函数正好能分辨出这一谱线，如果不是整数，则会泄露到相邻谱线上。