【剧透慎入】《星际穿越》里的黑洞物理学
2014-11-24 12:29阅读：
本文列出的数据为个人计算结果，部分参考了 Kip Thorne在《The Science of
Interstellar》中提到的物理诠释，但并不完全相同，也可能有错误的地方，欢迎指正。关于以下问题的更加细致的物理计算过程在这里，英文版的：http://bit.ly/1HCOxMH
问题1：电影中这么大的时间膨胀效应可能吗？
看完《星际穿越》，我脑海中首先冒出来的疑问，就是关于他们去的第一颗星球上的时间膨胀效应。广义相对论给出大质量物体附近时间延缓的效应，这应该是很多人都知道的，不知道，起码也会听说过。但是，问题在于，我印象中黑洞外的最小稳定轨道距离黑洞视界非常之远，而在那个距离，时间膨胀效应不可能达到1小时相当于7年的程度。要么，这颗星球必须离黑洞视界如此之近，以至于不可能有稳定轨道，或者，时间膨胀效应不可能达到影片中的程度。
让我用物理术语再解释下。无自旋黑洞视界的半径正比于黑洞质量M，通常我们把黑洞视界半径记为r=2M （光速c 和万有引力常数G
被省略掉），则最小稳定圆轨道在r=6M的地方，也就是视界半径的3倍远处。这个地方的时间延缓效应绝对达不到 7年/1小时=61320
倍。事实上，最小稳定轨道上的时间延缓只能达到根号2倍，也就是大概1.4倍。
我很惊喜地发现，当初诺兰要求这么大的时间膨胀效应的时候，Kip Thorne
的第一反应也是不可能。但是和我一样，回家仔细想了一下：如果黑洞自旋的话，又没有可能呢？我简单地算了下，发现最小稳定轨道半径随着自旋的增加而缩小，无穷趋近于视界半径，并且时间膨胀倍数也不断增大。
（图1. 横轴是坐标r,
纵轴是时间膨胀系数。红线标识黑洞视界，橘线标识最小稳定圆轨道，蓝线是时间膨胀系数根据坐标r的变化。这里黑洞自旋a取为最高自旋M的80%）
更加复杂地计算之后，发现要达到影片中61320倍的时间膨胀，黑洞的自旋需要非常接近于所允许的最高自旋，实际上和最高自旋只差100兆分之一（1.3x10^-14）。Kip
Thorne 也得到同样的数字。但是Kip Thorne
多年前曾有过一篇论文，关于黑洞对不同方向光子的选择性吸收，使得黑洞的自旋稳定在最高自旋的99.8%处，也就是说，按照Kip
Thorne自己的理论，影片中这么大自旋的黑洞是非常罕见的，可是，他自己也说，因为也不是完全不可能，所以电影要用，也说得过去。
所以结论是：是可能的，但是黑洞的自旋需要非常之高，这种黑洞可能会非常罕见或者几乎不存在。
问题2：第一颗星球上的滔天巨浪可能存在吗？而且三尺的水为什么会产生这么大的浪？
首先由于行星距离视界很近，潮汐力对这颗行星来说也非常之高。潮汐力是引力场在空间变化产生的差力，在面对黑洞的方向，行星会被拉长，因为距离黑洞近的一面的引力大于背离黑洞一面的引力，而在轨道切线方向，行星会被挤压，因为行星两侧受的引力并不平行而是有一个夹角，两侧的引力在轨道方向就会产生挤压效果。如果行星的自转周期不等于公转周期，那么潮汐力会把地幔蹂躏地粉碎，摩擦也会让行星内部升温，表面就应该布满了火山和岩浆。
所以，Kip Thorne
在他的书中说，唯一的结论是，行星必须被潮汐锁定：也就是行星的一面总是朝着黑洞（就像月亮总是一面朝着地球因为月球已经被地球潮汐锁定）。但是，为了产生巨浪，又不能是完全地锁定。
（图2.
潮汐力作用下，椭球星体的左右振动。红线是拉伸方向，蓝线是挤压方向。）
Kip Thorne
给出了两个可能的解释。一是已经被拉成椭球形的行星在潮汐力下的小幅振动——就像单摆在引力下的摆动一样。简单的估算后，他得出的振动周期是一个小时，而我的粗略估算给出的结果是半个小时。在这种摇摆下，海水来回晃动，并且由于潮汐力巨大，形成巨浪也是可能的。Kip
给出第二种解释是海啸在大潮汐力下产生的巨浪。
而问为什么3尺海水可以产生千米巨浪，只能说，这就是浪的成因啊。。。有人指出，在浪初形成的时候，3尺海水的地方应该看到海水先向浪的方向褪去，就像海啸一样，形成巨浪是要有海水补充的。但是另一方面，也有可能海水面积巨大，所以流速也不易察觉。个人没有做过这方面的模拟，所以只是猜想。
问题3：潮汐力不应该把人给撕碎么？尤其是后面过黑洞视界的时候，不是说人会被拉成面条吗？
这是一个传烂了的谬误。潮汐力是可以很大，大到可以把你撕成两半，但是另一方面，黑洞视界处的潮汐力反比于黑洞质量的平方，也就是说，越大质量的黑洞，其视界处的潮汐力越小，我们称大质量的黑洞很“温柔”。同时，我们也知道在第一颗星球的轨道处，潮汐力也并没有把行星撕碎，根据这一点，我们可以计算所需要的黑洞质量，结果大约是太阳质量的两亿倍。而这种质量级别的黑洞在视界处产生的潮汐力对人的长度来说也是很“温柔”的，所以Cooper安全无恙地过了黑洞视界，直到更里面的时候，才感觉到潮汐力的作用，最后掉入的飞船被拦腰撕断成两半，而Cooper
从飞船中弹射出来。
问题4：Endurance 停泊的轨道距离第一颗星球有多远？时间在那里不也会变慢吗？
诺兰要求Endurance停泊的轨道的时间膨胀效应不要太大，这样，通过前面的论述，自旋a与最高自旋只差100兆分之一，那么如果停泊轨道取在r=10M的位置，时间膨胀效应就只有1.2倍。于是Kip
Thorne
在他的书中取了这个距离。但是由于时空的扭曲，距离这个概念在黑洞附近并不那么简单。这里有两个距离的测量方法：一是绕轨道一圈，然后用周长除以2𝛑，我们记为r1;
二是直接的径向距离，我们这里取径向到视界的距离，记为r2。这两个距离并不一样，第二个距离要大于第一个。
如果我们把黑洞质量M取为1亿倍太阳质量（Kip Thorne
用这个数值而不是2亿倍进行的估算），一个M大概等于一个地球到太阳的距离。那么r=10M时，r1也是10M，相当于10倍地日距离，而径向到视界的距离
r2=24M，也就是24倍日地距离。
同样的，我们可以计算第一颗星球的r1和r2。星球轨道非常靠近视界，r=1.00004M，而视界的坐标
r=1.00000016M。两者的 r1 都是大约 2M，也就是2倍地日距离，但是在径向方向，行星轨道和视界之间的距离
r2=6M，也就是说虽然两者周长不差多少，但径向差了大约6倍地日距离。
如果把这些画在一张图上，想象我们的世界是在一张膜上，那么上面所说的这些诡异的距离差异可以很好地在画在更高纬度，用下面这张图来表示：
（图3.
黄色环是Endurance的停泊轨道，蓝色环是行星轨道，最下面的黑色环是黑洞视界）
从这张图上可以很好理解，虽然蓝色环和最下面的黑色环有差不多的周长，但是它们之间在这个膜上的距离并不是很小。
我们还可以计算轨道周期。行星的轨道周期在远处看来为1.7小时，但是由于时间膨胀效应，行星上的人看起来是0.1秒，也就是说1秒钟内这个星球绕黑洞10圈。你会说这太疯狂了！这不是超光速么？由于黑洞的自旋，附近的时空参考系被拖曳，所以实际上，在星球的本地时空参考系内，速度并没有超光速。而根据我的计算，Endurance停泊轨道的周期在远处看来大约为27小时，而在轨道上的人看来大约为22.5小时。
问题5：黑洞和虫洞当真看起来是那个样子的吗？
电影中的黑洞堪称是史上最准确的黑洞物理模拟图像。黑洞边上的一圈是吸积盘，落入黑洞的物质互相碰撞，产生高温并且发光。现实中黑洞的吸积盘其实会产生甚至更加危险的伽马射线等等，电影中为了故事的需要，用
Kip Thorne
的诠释，是一个很温和的黑洞，只产生足够的热量和光源，让行星适于居住。黑洞上方和下方是吸积盘被引力弯曲的光线进入镜头。按照Kip
Thorne的话说，除了多普勒效应所产生的一边偏蓝一边应该偏红的效果没有被放入影片中（因为导演怕太让观众困惑），这是一个足够细致的爱因斯坦广义相对论推导出来的光线轨迹产生的最准确的黑洞物理模拟。
但是Kip
也提到一点，就是行星由于非常靠近视界，并且处于最小稳定轨道，吸积盘应当在行星轨道外，所以行星附近看到的应该一半是外面的发光吸积盘，另一半是黑洞阴影，而不该是像下图一样：
（图4.
从第一颗行星看黑洞，黑洞应当占据半片天空）
而虫洞的模拟也是从广义相对论导出的光学路径出发，所以一开始他们靠近虫洞，从外面看到的那个水晶球似的图像是准确的。Kip
说，虽然当时也模拟了进入虫洞后的景象，但是就像穿隧道一样，并没有达到诺兰想要的那种与众不同的震撼，于是在模拟提供的大致方向上，进行了大量的艺术加工。
问题6：最后逃离黑洞的时候，Cooper 为什么要分离掉入黑洞？动量守恒并不会让Endurance
获得更大速度啊！
注意看影片的话会发现，推进Endurance的并不仅仅是中间的两个可分离的小飞船，环形船体本身也有推进器，并且在Cooper分离之后，在继续点火加速。所以分离并不是通过动量守恒来推进船体，而是为了减少船体质量，让推进器产生更大的加速度。这和火箭升空时段式分离的原理是一样的。
问题7：最后那个四维超立方体是怎么回事？为什么Cooper
可以给过去传递信息？他是怎么推动书的？
这里简单谈一下影片最后的tesserect（四维超正方体），更详细的强烈建议去看看Kip Thorne的新书《The Science
of
Interstellar》。影片最后，Cooper在黑洞内掉入四维超立方体。但是这个是诺兰加工过的更加复杂的四维超立方体。
先说简单的四维超立方体，如下图所示，在更高维空间，Cooper只是进到了四方体的一个面上。而另一个面上是他女儿的房间，通过第五维，这两个遥远的空间被连到一起，这个概念和虫洞是一样的。由于光线在低维中穿行，也就是图中的面上穿行，Cooper左右上下都能看到女儿卧室的不同角度，而且前后也可以（这是四维超立方体！想想为什么？）
（图5.
四维超立方体的中的Cooper在六个方向上都可以看到女儿）
但是诺兰的电影诠释中，这第五维并不只是空间的第四维（物理学上的高维通常都只是更高的空间纬度），而是一种可以同时看到三个低维和一个时间纬度的更高纬度，用电影里的话说，在这个五维空间里，时间变成了物理的空间纬度，可以同时看到所有时间点。所以诺兰把四维超立方体进行了时间上的拓展，在Cooper
看来，三个方向上，女儿的房间被时间展开，于是由6个方向上可以看到的6个房间，变成了无数个根据时间流逝方向展开的房间，如下图：
（图6.
四维超立方体的时间拓展）
那么他怎么推动书呢？根据电影的假设（也是物理学的假设），引力是可以穿过高维的，而根据爱因斯坦的广义相对论，引力只是时空的扭曲，时空的扭曲就像高山谷地，而物体的运动只是自然地跟随它们在这扭曲时空中的“世界线”，时空扭曲发生变化，“世界线”也会发生变化，所以通过引力可以改变时空扭曲，进而改变世界线，让物体的运动发生变化。于是电影中每个时间方向上都是物体的“世界线”，就像琴弦一样。Cooper一开始打墙的时候，这些弦就产生波动，也就是世界线开始变化，在时间流动方向传播。简单来说，Cooper可以通过拨动物体的“世界线”来作用于物体。仔细看电影的话也会发现，Cooper后面拨动手表指针的时候其实也是在拨动指针的“世界线”。
（图7.
物体的“世界线”在高维超四方体的时间展开中的表现）
另外，影片中，引力可以作用于高维，而诺兰想象的这个高维里时间可以变成空间般的纬度，所以引力也可以通过“世界线”作用于物体的“过去”。所以，尽管Cooper本身不能回到过去，因为他被限制在三维里，但是他可以通过高维的引力作用于过去，给过去的女儿传送信息。当然，一旦讨论到时间机器的故事，逻辑总是很难深究的。开始Cooper掉入这个高维超立方体的时候，一心想着改变过去，却恰恰制造了“Stay”这个信息和他女儿以前经历的“鬼魂推书”事件。在机器人TARS给
Cooper 解释高维人可能并不是让他们来改变过去的时候，Cooper
开始给过去的自己传送NASA坐标，给女儿传送黑洞内的量子数据。所以是一个环状结构，逻辑上基本是无解的。可是看电影就不用太纠结这些了，哪部时间旅行的电影真的可以深究的？
尾声
这部电影最杰出的地方其实除了科学的载入，还有这些科学现实所承载和开发出的巨大情感张力和故事性。相信Cooper那一哭，很多人都泪目了。绝对的影帝级表演，指戳内心。很多人还问，如果这个故事讲得就是一个父亲想要回家的话，为什么最后Cooper见到女儿时，女儿又把他支走了？我觉得如果问出这个问题，就还没有看明白这部电影，它说的是对星空的向往，对探索的激动，当然，还有爱。多年后，女儿其实已经对父亲释然，也理解了父亲，知道他并不满足于被囚困于土地，他的眼睛永远望向更远的方向。Cooper说，人类生于地球，但是并不应该也死在这里，说这话的时候，他眼含泪花。他对女儿说，我需要活着，而星空才是他的梦想。病床上女儿微笑着说没有哪个父母会想看着自己的孩子死去，我有自己的家人陪着，你去吧，去找Brand。她让父亲去追逐他的星空，去更远的地方，继续前方的探索。最后Cooper
坐上飞行器，面对打开的星空，个人觉得，其实是个非常美丽动人的故事结局。
