“第四次数学危机”与费耶阿本德“Anything goes”
2010-11-15 22:51阅读：
“第四次数学危机”与费耶阿本德“怎么都行”
翻开任何一本数学史或数学趣事的书籍，你都能找到历史上注明的三大数学危机。数学第一次危机直接动摇了尊奉“万物皆数（有理数）”的毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。第二次危机导源于微积分工具的使用，针对无穷小量这个“已死量的幽灵”，形式逻辑上明显矛盾的“贝克莱悖论”的提出导致了当时数学界一定混乱。十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，然而好景不长，1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论，从而导致第三次数学危机。
庆幸的是，每一次危机都成功化解，并且伴随每次危机而来的是数学的一次又一次辉煌。第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。
“第四次数学危机”鲜为国人所知，它是由美国学者
Jeffrey Yi-Lin Forrest教授于2009年提出的。庆幸的是Jeffrey Yi-Lin
Forrest（林益）教授于2010年10月来访lzu，作为专业外一名博士生，荣幸地聆听了他的报告。期间林益教授介绍了他在09年设计的“花瓶谜（The Vase Puzzle）”：
Suppose that a vase and
infinitely many pieces of paper are available. The pieces of paper
are labeled by natural numbers 1, 2, 3, … , so that each piece has
at most one label on it. Te following recursive procedure is
performed:
Step 1: Put the pieces of
paper, labeled from 1 to 10, into the vase; then remove the piece
labeled 1.
Step 2: Put the pieces of
paper, labeled from 10n – 9 through 10n into the vase; then remove
the piece labeled n, where n is an arbitrary natural number 1, 2,
3, ….
Question: After the recursive
procedure is finished, how many pieces of paper are left in the
vase?
方法一、用传统的归纳法，我们很容易验证在第n步（放入十张的同时再取走一张标号为1的纸）以后，花瓶里的纸张数应为10n-n=9n张。再令n趋于无穷大，那么，在无数次放入、取走以后花瓶里就应该有无数张纸。
然而，魔力在于，如果花瓶有纸存在，那么就可以抽出一张，其上必有标号，不妨设为m，而这张有标号m的纸，在第m步放入十张纸的同时就取走了---天大的矛盾！
这可以用集合论的方法加以解释。对于每个n, 定义集合M_{n} 为第n步后瓶内剩下的纸张数，M_{n}= {x|x 有具体标号n 到 10n + 1 }。当“steps”已经完成，那么∩^{∞}_{n=1}
=M_{n},也就是说如果x是瓶中的纸，那么x的标号要比任何数都大，显然与具体的标号矛盾（上述数学式子记号参照Latex记号）！即瓶子是空的。
为何两种方法得到的结果不一致？都是经过数学严格论证，而数学结论的唯一性却得不到维护，这是无法让人忍受的。
其实这里面涉及两个概念“实无穷”与“潜无穷”，尽管早在古希腊，亚里士多德就指出这两个概念是截然不同的，但在当代整个数学体系中，我们仍将两个无穷混为一谈，并以此得出大量的结论，发展到今天的辉煌阶段。然而，花瓶谜的提出，说明实无穷和潜无穷确实不同。如果花瓶谜的提出得到认可，这是否就说明以极限建立起来的当代数学体系存在着严重漏洞、甚至矛盾，是否意味着数学第四次危机已经来临？
由“解决”花瓶谜的两种方法自然联想到费耶阿本德的“怎么都行”。众所周知，费耶阿本德由“认识论的无政府主义”，导出“方法论的无政府主义”。什么是科学认识论和科学方法？在他看来，就是“什么方法都行”。但从以上的例子看出，并非如他所想，方法的不同完全有可能导致统一问题有着不同结果。
但是，我们并不是说要反对“无政府主义”，我们应当理解他的实质，“怎么都行”说明的不是真正意义上的任何方法都行，而是意在强调方法的“多元性”，这是对科学研究极为有利的。正如前文所言，当今中国的数学研究气氛略显浮躁，原因是在同一方法下国人想以修改方程或是前提条件为捷径，解决所谓略有改进的问题，以此增加自己的论文数量。而西方则是尊重客观事实，在同一方程下，力求用不同方法解决问题---这是明显不同国人的。两者相比较，西方确实比较高明。只有与客观世界或实践相统一的数学科学才能得以生存和发展。
正如花瓶谜的提出，并非这种提出不妥，而是在于出现在不恰当的时间。当今数学正在突飞猛进，在默认已有结论是正确的前提下，数学科研工作者投入了满腔的激情和心血，构建了大量的新的理论，而这些理论也确实在指导实践，所以很少有人理会这种会给他们带来致命打击的“花瓶谜”（从讲座及
林益教授出版的书的影响来看，很少有人愿意接受这个花瓶谜）。
然而，真理容不下半点瑕疵。即使绝大多数人都不愿面对花瓶谜，或者“第四次危机”，但总会有极少数人在坚持真理，并勇于接受危机的现实，进而寻求化解危机的方法。三次危机已经过去，我相信第四次也将过去。即使更多次的危机来临，同样也会有化解危机的新方法，这种化解各种危机的过程正是科学发展的过程。于是以库恩科学发展模式结束本文：
前科学---常规科学---危机---科学革命---常规科学---…
