如何求∫cosx/(sinx+cosx)dx
2011-12-26 11:21阅读：
如何求∫cosx/(sinx+cosx)dx
推荐答案 解法一：设tan(x/2)=t
则x=2arctant,sinx=2t/(1+t2),cosx=(1-t2)/(1+t2),dx=2dt/(1+t2)
故∫cosx/(sinx+cosx)dx
=∫[(1-t2)/(1+t2)]*[2dt/(1+t2)]/[2t/(1+t2)+(1-t2)/(1+t2)]
=∫2(1-t2)dt/[(1+t2)(1+2t-t2)]
=∫[(1/2)/(t-1-√2)+(1/2)/(t-1+√2)+(1-t)/(1+t2)]dt
=(1/2)[ln│(t-1-√2)(t-1+√2)│]+arctant-(1/2)ln(1+t2)+C (C是积分常数)
=(1/2)ln│(t2-2t-1)/(1+t2)│+arctant+C
=(1/2)ln│(1-t2)/(1+t2)+(2t)/(1+t2)│+arctant+C
=(1/2)ln
│cosx+sinx│+x/2+C
=(ln│cosx+sinx│+x)/2+C；
解法二：∫cosx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫2cosx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(sinx+cosx+cosx-sinx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫[1+(cosx-sinx)/(sinx+cosx)]dx
=[∫dx+∫d(sinx+cosx)/(sinx+cosx)]/2
=(x+ln│sinx+cosx│)/2+C (C是积分常数)。
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∫1/(sinx+cosx)dx等于多少
∫1/(sinx+cosx)dx
=∫1/[√2sin(x+π/4)]dx
=√2/2∫1/sin(x+π/4)d(x+π/4)
令t=x+π/4则
上式=√2/2∫1/sint dt
=√2/2∫1/(2sint/2 cost/2) dt
=√2/2∫1/(tant/2 cos2t/2) dt/2
=√2/2∫1/(tant/2) d(tant/2)
=√2/2ln|tant/2|+C
故：
原式=√2/2ln|tan(x/2+π/8)|+C
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求不定积分：对 （1+sinx）/（1+sinx+cosx）求不定积分
∫（1+sinx）/（1+sinx+cosx）dx=
∫[（1+sinx）（-1+sinx+cosx）]/[（1+sinx+cosx）（-1+sinx+cosx）]dx=
=∫[（1+sinx）(cosx）-(cosx)^2]/（2sinx*cosx）dx=
=∫（1+sinx-cosx)/（2sinx）dx=x/2+∫sin(x/2)/[2cos(x/2)]dx=
=x/2-ln[cos(x/2)]+C
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求(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)对于x的积分
对于这类题需要两个技巧：
1、对被积函数进行改写
2、换元法积分
注意到这个被积函数的分母是cosx+sinx,如果设成u的话，那么u'=-sinx+cosx。可以考虑把分子改写成a(cosx+sinx)+b(-sinx+cosx)的形式，那么这个被积函数就可以拆成两部分——一部分是常数a，可以直接积分；另一部分是b(-sinx+cosx)/(cosx+sinx),可以用换元法积分。以下是解答：
设3cosx-sinx=a(cosx+sinx)+b(-sinx+cosx)，求得a=1，b=2。
则(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)=1+2(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)
所以原积分=∫1+2(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx
=∫1dx+2∫(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx
=x+2ln|cosx+sinx|+C
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求定积分：∫[π/2 0]sinx/(3+cosx)^2 dx
解：(cosx)'=-sinx所以：
∫[π/2 0]sinx/(3+cosx)^2 dx
=-∫[π/2 0]1/(3+cosx)^2d(cosx)
=[1/(3+cosx)][π/2 0]
=1/3-1/4
=1/12
