于雁鸣《易经》系列之五
《易经》中存在许多数学的内容，甚至卦象、卦序就是建立在数学的基础之上，数学模型建立起《易经》的主体框架，组成了它的具体内涵，同时创建了《易经》的逻辑关系。它的数学内容涉及众多方面，也为现代的数学与科技奠定了基础，成为中国上古的辉煌的数学成就。在这里将它揭示的各个数学方面总结为一篇论文与大家共享。
《易经》是中国上古的辉煌数学成就
【摘
【关键词】《易经》 数学
新浪博客
于雁鸣《易经》系列之五
《易经》中存在许多数学的内容，甚至卦象、卦序就是建立在数学的基础之上，数学模型建立起《易经》的主体框架，组成了它的具体内涵，同时创建了《易经》的逻辑关系。它的数学内容涉及众多方面，也为现代的数学与科技奠定了基础，成为中国上古的辉煌的数学成就。在这里将它揭示的各个数学方面总结为一篇论文与大家共享。
《易经》是中国上古的辉煌数学成就
【摘
【关键词】《易经》 数学
成就 二进制 立体 规律 基础 重新认识
一、
1、
在《易经》中，应用如图一所示的先天八卦图表现了八卦的存在与循
环，其中八卦卦象与顺序如图二所示。这里要注意的是，八卦卦象的方向应该以先天八卦图的中心向外看为准。
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s10.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQ9JYQFd9&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
这里的卦象由两个元素组成，一个是阴爻--，一个是阳爻一。众所周知，二进制中也是由两个元素组成，一个是0，一个是1。卦象中的阴爻--可以与二进制中的0对应，阳爻一可以与1对应，因此，可以得到图三所示的对应关系。如果将它们按自然顺序排列则如图四所示。
按此规律，可以得到全部六十四卦卦象的二进制表示形式，也可以得到它们的十进制数值，它们的具体对应关系如图五所示。
卦象的二进制表示形式不仅满足数值的表示，同时也满足二进制的计算规则，卦象表示的数值相加减可以得到另一个数值，也同时得到另一个相对应的卦象，因此，传统所说的卦象实际是二进制的成熟表示方式。
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s15.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQhrsf44e&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s5.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQjDvxy94&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s15.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQnNoE6fe&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
2、卦象为现代的二进制奠定了基础
《易经》中娴熟地运用了二进制，所谓卦象与变化就是二进制数字的不同表示方式。这套二进制从表示方式到运算规律都完全符合现代二进制的规律，所以它是成熟的。这套成熟的二进制否定了莱布尼茨发明二进制的说法，并且将二进制的产生时间提前了数千年，所以对传统观念二进制的产生应该重新认识。
二、
1、卦象构成立体图形
在现代的立体坐标系中，为表示一点的空间位置通常用(x，y，z)这样的形式来表示，在《易经》中，单卦的三位数表示形式正好与这样的形式相符。如兑卦的![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列]( "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
就可以表示为011的形式，得到了兑卦的立体坐标，如此，可以得到八个卦的立体坐标如图六所示，把它简化一下，得到八卦的标准立体坐标，如图七所示。
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s2.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQq1BjHf1&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
这里的震（001）艮（100）坎（010）三卦分别表示一维的坐标，单位都为1，因此可以用它们组成三维的坐标系如图八所示。按照八卦的立体坐标，可以得到八卦的立体图形如图九所示，这就是三维图像在《易经》中的应用。
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s1.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQDuzVmf0&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
2、卦象为现代几何学奠定了基础
卦象本身是一个平面图形，从认识平面图形到建立立体图形是一次飞跃，这个飞跃对建立空间观念，提升对点、线、面、体、角的认识，加深对理论及理论联系实际的认识，提高解决问题的能力和创造性等都有重要意义，同时，是为现代几何学奠定了基础。
三、
1、
《易经》中的八卦是卦象的基础形式，由它们才组合出六爻的复卦。复卦是《易经》的主要形式，由它们产生出全部的卦义与卦序等，同样，它们也可以构成立体的形式，而且是双立体的形式。
从图五中可以提取出上下卦相同的八个纯卦，它们的卦象如图十所示，将它们转化为各卦的立体坐标则如图十一所示。可以看出，这是在图八坐标系的基础上再加上一个坐标系，形成如图十二所示的双重的坐标系，有了这个双重的、也就是复卦的坐标系就很容易得到八个纯卦的立体图如图十三所示。由于图中小立方体的卦象是在内部所以称为内卦，同理，在大立方体上的卦象就称为外卦，而它们组合后就是复卦。
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s9.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQFGjDG28&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
2、
图十三的图形反映出两种状态、两个周期相辅相成的联系，也反映出
主体与外界的、主观与客观的相互关系与影响，实际上就是反映出事物存在与运动的本质联系。
飞跃，它为研究空间及存在的完整性、连续性、无限性和相关性奠定了基础，也就是为现代的拓扑学奠定了基础。
四、
1、
将图十三细化一下，可以得到图十四所示的图形，可以明显的看出，在外卦构成的大立方体中包含有八个相同的小立方体，每一个小立方体都由八个卦组成，而八个这样的小立方体就构成了《易经》的全部六十四卦。在每一个小立方体中，由唯一的外卦引领，它与八个内卦分别连接，得到复卦的八个卦象，同时得到它们的路径和位置如图十五所示，这样由一个外卦引领八个内卦的形式称为一宫。图十五所示是兑宫的立体与路径等体现，结合八宫在立体中的位置，就得到八宫各卦位置与路径如图十六所示。
大立方体上有八个顶点，这些顶点的卦象就是复卦的外卦（上卦）卦象，内部小立方体的卦象就是复卦的内卦（下卦）卦象，每个外卦的卦象分别与内卦的八个卦象组合，可以得到六十四个复卦的卦象，也就是图五所示的全部六十四个复卦卦象。将这些卦象在双立体中表示出来就如图十七所示，这是六十四卦在双立体中的位置与路径图形。图十八表示的是兑宫的八个复卦及参数。
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s13.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQJTsEk4c&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s1.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQL02beb0&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s5.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQRUQjG24&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
![[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列](http://s8.sinaimg.cn/bmiddle/006bf7XLzy77QQSBv6L57&690 "[转载]《易经》是中国上古的辉煌数学成就 <wbr> <wbr>于雁鸣《易经》系列")
2、卦象为现代化学奠定了基础
通过图十四与图十六可以看出，在八宫的立方体中，每一个节点都有卦象的存在，而每一个节点之间都有不同的路径进行连接，这样的结构构成即美丽又复杂的图形。这样的结构以现代的化学知识诠释即为物质的内部结构，它即表示物质的存在形式又表示物质的性质，即表示晶体的化学组成又表示晶体的对称性等。图十九显示的是氯化钠（NaCl）的晶胞结构，可以看出它与《易经》显示的立体结构完全相同，现代的化学知识在数千年前的《易经》中已经存在了，所以说，《易经》的卦象为现代化学奠定了基础。
五、排列组合构建组合学基础
1、排列组合构建卦象的结构基础
《易经》卦象的结构由六爻组成，这六爻可以分成上卦三爻与下卦三爻两部分，具体如图二十所示。上卦的三爻是八卦之中的一个卦象，这个卦象按八卦的顺序循环和显示；同理，下卦也按八卦的顺序循环和显示，它们如此的循环并组合得出复卦的六十四卦卦象，这是卦象的整体组合形式。无论在单卦还是在复卦中，都能看到阴阳两个元素的数量与位置问题，相同数量的阴阳元素由于位置不同而产生卦象的不同，不同数量的阴阳元素更是产生不同的卦象，这即是卦象的排列问题又是它的组合问题。
2、卦象为现代的组合学奠定了基础
排列组合是组合学最基本的概念，它可以从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，具有认识问题与解决问题的方法论意义。通过对它的认识与了解，可以增强抽象思维能力与创新能力，可以深刻理解事物的量变形式对质变的影响，可以提升解决实际问题的能力。
地球上的物质都是由化学元素排列组合而成的，化学元素都是由基本粒子排列组合而成的，事实上，整个世界就是排列组合的应用与实现，《易经》的卦象为现代的组合学奠定了基础。
六、平面图形的深刻涵义
1、卦象中暗涵规律图形
在图一的先天八卦中，可以看出这是一个事物的循环运动，但这是一个圆形，而事物运动并不都是以标准的圆形运动，它们存在自己运动的规律与轨迹。
先天八卦以数字的形式表示并以0为起点的排列是01537624，众所周知数字不单单可以表示数值，它还可以表示为斜率，将这些
一、
1、
在《易经》中，应用如图一所示的先天八卦图表现了八卦的存在与循
环，其中八卦卦象与顺序如图二所示。这里要注意的是，八卦卦象的方向应该以先天八卦图的中心向外看为准。
这里的卦象由两个元素组成，一个是阴爻--，一个是阳爻一。众所周知，二进制中也是由两个元素组成，一个是0，一个是1。卦象中的阴爻--可以与二进制中的0对应，阳爻一可以与1对应，因此，可以得到图三所示的对应关系。如果将它们按自然顺序排列则如图四所示。
按此规律，可以得到全部六十四卦卦象的二进制表示形式，也可以得到它们的十进制数值，它们的具体对应关系如图五所示。
卦象的二进制表示形式不仅满足数值的表示，同时也满足二进制的计算规则，卦象表示的数值相加减可以得到另一个数值，也同时得到另一个相对应的卦象，因此，传统所说的卦象实际是二进制的成熟表示方式。
2、卦象为现代的二进制奠定了基础
《易经》中娴熟地运用了二进制，所谓卦象与变化就是二进制数字的不同表示方式。这套二进制从表示方式到运算规律都完全符合现代二进制的规律，所以它是成熟的。这套成熟的二进制否定了莱布尼茨发明二进制的说法，并且将二进制的产生时间提前了数千年，所以对传统观念二进制的产生应该重新认识。
二、
1、卦象构成立体图形
在现代的立体坐标系中，为表示一点的空间位置通常用(x，y，z)这样的形式来表示，在《易经》中，单卦的三位数表示形式正好与这样的形式相符。如兑卦的
这里的震（001）艮（100）坎（010）三卦分别表示一维的坐标，单位都为1，因此可以用它们组成三维的坐标系如图八所示。按照八卦的立体坐标，可以得到八卦的立体图形如图九所示，这就是三维图像在《易经》中的应用。
2、卦象为现代几何学奠定了基础
卦象本身是一个平面图形，从认识平面图形到建立立体图形是一次飞跃，这个飞跃对建立空间观念，提升对点、线、面、体、角的认识，加深对理论及理论联系实际的认识，提高解决问题的能力和创造性等都有重要意义，同时，是为现代几何学奠定了基础。
三、
1、
《易经》中的八卦是卦象的基础形式，由它们才组合出六爻的复卦。复卦是《易经》的主要形式，由它们产生出全部的卦义与卦序等，同样，它们也可以构成立体的形式，而且是双立体的形式。
从图五中可以提取出上下卦相同的八个纯卦，它们的卦象如图十所示，将它们转化为各卦的立体坐标则如图十一所示。可以看出，这是在图八坐标系的基础上再加上一个坐标系，形成如图十二所示的双重的坐标系，有了这个双重的、也就是复卦的坐标系就很容易得到八个纯卦的立体图如图十三所示。由于图中小立方体的卦象是在内部所以称为内卦，同理，在大立方体上的卦象就称为外卦，而它们组合后就是复卦。
2、
图十三的图形反映出两种状态、两个周期相辅相成的联系，也反映出
主体与外界的、主观与客观的相互关系与影响，实际上就是反映出事物存在与运动的本质联系。
飞跃，它为研究空间及存在的完整性、连续性、无限性和相关性奠定了基础，也就是为现代的拓扑学奠定了基础。
四、
1、
将图十三细化一下，可以得到图十四所示的图形，可以明显的看出，在外卦构成的大立方体中包含有八个相同的小立方体，每一个小立方体都由八个卦组成，而八个这样的小立方体就构成了《易经》的全部六十四卦。在每一个小立方体中，由唯一的外卦引领，它与八个内卦分别连接，得到复卦的八个卦象，同时得到它们的路径和位置如图十五所示，这样由一个外卦引领八个内卦的形式称为一宫。图十五所示是兑宫的立体与路径等体现，结合八宫在立体中的位置，就得到八宫各卦位置与路径如图十六所示。
大立方体上有八个顶点，这些顶点的卦象就是复卦的外卦（上卦）卦象，内部小立方体的卦象就是复卦的内卦（下卦）卦象，每个外卦的卦象分别与内卦的八个卦象组合，可以得到六十四个复卦的卦象，也就是图五所示的全部六十四个复卦卦象。将这些卦象在双立体中表示出来就如图十七所示，这是六十四卦在双立体中的位置与路径图形。图十八表示的是兑宫的八个复卦及参数。
2、卦象为现代化学奠定了基础
通过图十四与图十六可以看出，在八宫的立方体中，每一个节点都有卦象的存在，而每一个节点之间都有不同的路径进行连接，这样的结构构成即美丽又复杂的图形。这样的结构以现代的化学知识诠释即为物质的内部结构，它即表示物质的存在形式又表示物质的性质，即表示晶体的化学组成又表示晶体的对称性等。图十九显示的是氯化钠（NaCl）的晶胞结构，可以看出它与《易经》显示的立体结构完全相同，现代的化学知识在数千年前的《易经》中已经存在了，所以说，《易经》的卦象为现代化学奠定了基础。
五、排列组合构建组合学基础
1、排列组合构建卦象的结构基础
《易经》卦象的结构由六爻组成，这六爻可以分成上卦三爻与下卦三爻两部分，具体如图二十所示。上卦的三爻是八卦之中的一个卦象，这个卦象按八卦的顺序循环和显示；同理，下卦也按八卦的顺序循环和显示，它们如此的循环并组合得出复卦的六十四卦卦象，这是卦象的整体组合形式。无论在单卦还是在复卦中，都能看到阴阳两个元素的数量与位置问题，相同数量的阴阳元素由于位置不同而产生卦象的不同，不同数量的阴阳元素更是产生不同的卦象，这即是卦象的排列问题又是它的组合问题。
2、卦象为现代的组合学奠定了基础
排列组合是组合学最基本的概念，它可以从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，具有认识问题与解决问题的方法论意义。通过对它的认识与了解，可以增强抽象思维能力与创新能力，可以深刻理解事物的量变形式对质变的影响，可以提升解决实际问题的能力。
地球上的物质都是由化学元素排列组合而成的，化学元素都是由基本粒子排列组合而成的，事实上，整个世界就是排列组合的应用与实现，《易经》的卦象为现代的组合学奠定了基础。
六、平面图形的深刻涵义
1、卦象中暗涵规律图形
在图一的先天八卦中，可以看出这是一个事物的循环运动，但这是一个圆形，而事物运动并不都是以标准的圆形运动，它们存在自己运动的规律与轨迹。
先天八卦以数字的形式表示并以0为起点的排列是01537624，众所周知数字不单单可以表示数值，它还可以表示为斜率，将这些