平面的一般方程
2010-04-04 20:04阅读：
空间仿射坐标系下，一个方程表示平面的充要条件是此方程是x,y,z的一次方程
Ax+By+Cz+D=0 (A2
+B2+C2≠0)
必要性：（平面方程一定是三元一次方程）在平面上任取不共线的三点
Pi(xi,yi,zi),(i=1,2,3)代入平面的三点式方程，三阶行列式等于零。将此行列式按第一行展开，可得关于x,y,z的三元一次方程，由三点的不共线，保证x,y,z的系数不全为零。
充分性：（三元一次方程一定表示平面）设有方程Ax+By+Cz+D=0 (A2
+B2+C2≠0)，并设(xi,yi,zi),(i=1,2,3)是方程的解，将三个解代入方程中，又得三个恒等式，四个方程一道看作关于A,B,C,D的四元齐次线性方程组，此方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，而这个四阶行列式等于零正好是过三点Pi(xi,yi,zi),
(i=1,2,3)的平面方程。
所以，一般的三元一次方程
Ax+By+Cz+D=0
在空间仿射坐标系中表示平面。
由平面方程一般式中系数的各种特殊情形，还可以判断平面的特殊位置。
一
若D=0,表示平面过原点；
二
若A,B,C中有一个为零，表示平面平行于相应的坐标轴，（例如：A=0,表示平面平行于x轴）若再加
D=0，则平面过相应的坐标轴；
三
若A,B,C中有两个为零，表示平面平行于相应的坐标面，（例如：A=0,B=0 表示平面平行于xoy面）若再加
D=0，则平面与相应的坐标面重合。
