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勾股定理在数学发展史上的地位与三种表述形式

2010-03-26 01:50阅读：

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一、勾股定理在人类数学发展史上的地位
勾股定理是欧氏平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，开普勒（kepler）称“几何学两个宝藏”：一个是勾股定理，另一个是黄金分割（golden section）.中国著名数学家华罗庚曾建议用用一幅反映勾股定理的数学形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。就勾股定理本身而已言，它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系，从而将原来对几何学的感性认识精确化，真正意义的几何学才可以确立，尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何及三角学的建立，使数学的几何与代数两大门类结合起来，为数学更进一步的发展开拓了宽广的道路，勾股定理以及处理数据的数学方法，这种思考模式和现代天体物理学思考模式一致。第一宇宙定律就是通过过勾股定理的描述来说明影响人们思维方法的平直时空观。
二、 勾股定理的三种叙述形式
（1） 在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形。
这是欧几里得（Euclid,约公元前
330－前275）《几何原本》卷I 第47命题。他从纯粹的几何图形之间的关系，阐述勾股定理，即“将两个直角边上的正方形剖分为若干块，可拼凑成斜边上的大正方表”。这种阐述完全不涉及到数。欧几里得从来没有把面积看作一个数来加以运算，面积“相等”，是“拼补相等”。既然不涉及到数，也就无所谓“和”（相加），故命题的原文中没有“和”的字样。
（2） 直角三角形直角边上的两个正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积。
图形的面积是一个数，定理指出三个数之间的关系。
（3） 直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和。
长度是数，数的平方还是数，定理讲的是数与数之间的关系，并不考虑数的平方的几何意义。
从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
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