设计一个形式系统ＰＭ，通过公理，经过演绎逻辑，想要实现形式完全性，这种期望，被哥德尔证明打击了。这里面，有个基本要求，就是ＰＭ系统是整数性质包含的，也就是说，该系统能够处理数量关系。通过哥德尔证明的思路可以看出来，构造的关键，就在于递延和递归两种策略的使用，构建自指。
哥德尔证明发布之后，全世界数理学家在不可撼动的证明面前都服了。这说明，算术系统，要远比《数学原理》设计的形式系统复杂度更加高，人类对于算术的理解还太初级了。素数，这种存在，其深邃对人类来说，还无法完全理解。黎曼猜想，还没彻底证明。哥德尔，利用素数和字符之间构造映射关系，刻意的制造自指悖论，这种创新性思维，关键还在素数的有效运用上。因此，这个证明，对数学界来说，可是三观摧毁性打击。
一开始，数学的发展是狂放的。从简单的数量、空间关系入手，人类发现竟然存在如此纯粹、理性的学科。人类幻想，超越于物质存在的绝对理性的世界里有数学。数学、意识、上帝，都是绝对理性的存在。
后来，人类慢慢开始怀疑，数学的狂放不羁，背后是不是存在严重的问题，因为，发现了一系列悖论。数学家开始严格定义数学的基础，试图从公理体系出发，把每一个数学分支都整理清晰。通过形式逻辑的演绎推理，人类发现很多数学内在的奥秘，对数学的结构、模式有了更加深刻的理解。
再后来，人类对数学、逻辑之间的关系，因哥德尔证明有了更加深刻的认识。无论如何设计形式系统，只要存在数量关系，肯定会被哥德尔不完全性定理控制，一定会存在符合形式系统定义但不能证明的真理存在。那么，此类问题，该如何处理？如果，设计一条新的公理，或许可以把该命题证明，那么，依然会有下一个新的不完全性出现，不可能彻底消灭悖论。这就导致，指望将数学全部囊括到形式系统中，不可实现。
一开始，数学的发展是狂放的。从简单的数量、空间关系入手，人类发现竟然存在如此纯粹、理性的学科。人类幻想，超越于物质存在的绝对理性的世界里有数学。数学、意识、上帝，都是绝对理性的存在。
后来，人类慢慢开始怀疑，数学的狂放不羁，背后是不是存在严重的问题，因为，发现了一系列悖论。数学家开始严格定义数学的基础，试图从公理体系出发，把每一个数学分支都整理清晰。通过形式逻辑的演绎推理，人类发现很多数学内在的奥秘，对数学的结构、模式有了更加深刻的理解。
再后来，人类对数学、逻辑之间的关系，因哥德尔证明有了更加深刻的认识。无论如何设计形式系统，只要存在数量关系，肯定会被哥德尔不完全性定理控制，一定会存在符合形式系统定义但不能证明的真理存在。那么，此类问题，该如何处理？如果，设计一条新的公理，或许可以把该命题证明，那么，依然会有下一个新的不完全性出现，不可能彻底消灭悖论。这就导致，指望将数学全部囊括到形式系统中，不可实现。