A与
B为对立事件,即
B=
;
B与
D互不相容;
A D,C
D.
3. 事件
Ai表示某个生产单位第
i车间完成生产任务,
i=1,2,3,
B表示至少有两个车间完成生产任务,
C表示最多只有两个车间完成生产任务,说明事件
及
B-
C的含义,并且用
Ai(
i=1,2,3)表示出来.
解 表示最多有一个车间完成生产任务,即至少有两个车间没有完成生产任务.
B-
C表示三个车间都完成生产任务
4.
如图1-1,事件
A、
B、
C都相容,即
ABC≠
Φ,把事件
A+
B,
A+
B+
C,
AC+
B,
C-
AB用一些互不相容事件的和表示出来.
解
5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明.
解 两个对立的事件一定互不相容,它们不可能同时发生,也不可能同时不发生;两个互不相容的事件不一定是对立事件,它们只是不可能同时发生,但不一定同时不发生.
在本书第6页例2中
A与
D是对立事件,
C与
D是互不相容事件.
6.三个事件
A、B、C的积是不可能事件,即
ABC=Φ,问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.
解 不一定.
A、B、C三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容,即两两互不相容.如图1-2,事件
ABC=Φ,但是
A与
B相容.
7.
事件
A与
B相容,记
C=AB,D=A+B,F=A-B.
说明事件
A、C、D、F的关系.
解 由于
AB A
A+B,A-B A
A+B,AB与
A-B互不相容,且
A=AB+
(A-B).
因此有
A=
C+
F,
C与
F互不相容,
D A F,A
C.
8. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率.
解 记事件
A表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件
A的样本点数目#
A=
.而组成试验的样本点总数为#
Ω= ,由古典概率公式有
P(
A)=
(其中#
A,#
Ω分别表示有利于
A的样本点数目与样本空间的样本点总数,余下同)
9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.
解 设事件
B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 的样本点数为# .
10. 抛掷一枚硬币,连续3次,求既有正面又有反面出现的概率.
解 设事件
A表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则 表示三次均为正面或三次均为反面出现.
而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果,即#
Ω=8,因此
11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁,今任取两把,求能打开门锁的概率.
解 设事件
A表示“门锁能被打开”. 则事件 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.
从9题-11题解中可以看到,有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.
12. 一副扑克牌有52张,不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:
(1)四张花色各异;
(2)四张中只有两种花色.
解 设事件
A表示“四张花色各异”;
B表示“四张中只有两种花色”.
13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分,5个壹分的硬币共10枚,从中任取5枚,求总值超过壹角的概率.
解 设事件
A表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.
14. 袋中有红、黄、黑色球各一个,每次任取一球,有放回地抽取三次,求下列事件的概率:
A=“三次都是红球”
“全红”,
B=“全白”,
C=“全黑”,
D=“无红”,
E=“无白”,
F=“无黑”,
G=“三次颜色全相同”,
H=“颜色全不相同”,
I=“颜色不全相同”.
解 #
Ω=3
3=27,#
A=#
B=#
C=1,
#
D=#
E=#
F=2
3=8,
#
G=#
A+#
B+#
C=3,
#
H=3!=6,#
I=#
Ω-#
G=24
15. 一间宿舍内住有6位同学,求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.
解 设事件
A表示“有4个人的生日在同一个月份”.
#
Ω=12
6,#
A=
16. 事件
A与
B互不相容,计算
P .
解 由于
A与
B互不相容,有
AB=
Φ,
P(
AB)=0
17. 设事件
B
A,求证
P(
B)≥
P(
A).
证 ∵
B A
∴
P(
B-
A)=
P(
B) -
P(
A)
∵
P(
B-
A)≥0
∴
P(
B)≥
P(
A)
18.
已知
P(
A)=
a,
P(
B)=
b,
ab≠0
(
b>0.3
a),
P(
A-
B)=0.7
a,求
P(
B+
A),
P(
B-
A),
P(
+ ).
解 由于
A-
B与
AB互不相容,且
A=(
A-
B)+
AB,因此有
P(
AB)=
P(
A)-
P(
A-
B)=0.3
a
P(
A+
B)=
P(
A)+
P(
B)-
P(
AB)=0.7
a+
b
P(
B-
A)=
P(
B)-
P(
AB)=
b-0.3
a
P( + )=1-
P(
AB)=1-0.3
a
19. 50个产品中有46个合格品与4个废品,从中一次抽取三个,计算取到废品的概率.
解 设事件
A表示“取到废品”,则 表示没有取到废品,有利于事件 的样本点数目为# = ,因此
P(
A)=1-
P( )=1-
=0.2255
20. 已知事件
B A,
P(
A)=ln
b ≠
0,
P(
B)=ln
a,求
a的取值范围.
解 因
B
A,故
P(
B)≥
P(
A),即ln
a≥ln
b,
a≥
b,又因
P(
A)>0,
P(
B)≤1,可得
b>1,
a≤e,综上分析
a的取值范围是:
1<
b≤
a≤e
21.
设事件
A与
B的概率都大于0,比较概率
P(
A),
P(
AB),
P(
A+
B),
P(
A)+
P(
B)的大小(用不等号把它们连接起来).
解 由于对任何事件
A,
B,均有
AB A A+
B
且
P(
A+
B)=
P(
A)+
P(
B)-
P(
AB),
P(
AB)≥0,因此有
P(
AB)≤
P(
A)≤
P(
A+
B)≤
P(
A)+
P(
B)
22. 一个教室中有100名学生,求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).
解 设事件
A表示“100名学生的生日都不在元旦”,则有利于
A的样本点数目为#
A=364
100,而样本空间中样本点总数为
#
Ω=365
100,所求概率为
= 0.2399
23. 从5副不同手套中任取4只手套,求其中至少有两只手套配成一副的概率.
解 设事件
A表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”,则 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.
24.
某单位有92%的职工订阅报纸,93%的人订阅杂志,在不订阅报纸的人中仍有85%的职工订阅杂志,从单位中任找一名职工求下列事件的概率:
(1)该职工至少订阅一种报纸或期刊;
(2)该职工不订阅杂志,但是订阅报纸.
解 设事件
A表示“任找的一名职工订阅报纸”,
B表示“订阅杂志”,依题意
P(
A)=0.92,
P(
B)=0.93,
P(
B|
)=0.85
P(
A+
B)=
P(
A)+
P(
B)=
P(
A)+
P(
)
P(
B| )
=0.92+0.08×0.85=0.988
P(
A
)=
P(
A+
B)-
P(
B)=0.988-0.93=0.058
25.
分析学生们的数学与外语两科考试成绩,抽查一名学生,记事件
A表示数学成绩优秀,
B表示外语成绩优秀,若
P(
A)=
P(
B)=0.4,
P(
AB)=0.28,求P(
A|
B),
P(
B|
A),
P(
A+
B).
解
P(
A|
B)=
P(
B|A)=
P(
A+
B)=
P(
A)+
P(
B)-
P(
AB)=0.52
26. 设
A、B是两个随机事件.
0<
P(
A)<1,0<
P(
B)<1,
P(
A|
B)+
P( | )=1.
求证
P(
AB)=
P(
A)
P(
B).
证
∵
P (
A| )+
P ( | )=1且
P
(
A|
B )+
P( | )=1
∴
P (
A|
B )=
P (
A|
)
P(
AB)[1-
P(
B)]=
P(
B)[
P(
A)-
P(
AB)]
整理可得
P(
AB)=
P(
A)
P(
B)
27. 设
A与
B独立,
P(
A)=0.4,
P(
A+
B)=0.7,求概率
P (
B).
解
P(
A+
B)=
P(
A)+
P(
B)=
P(
A)+
P( )
P(
B)
0.7=0.4+0.6
P(
B )
P(
B )=0.5
28.
设事件
A与
B的概率都大于0,如果
A与
B独立,问它们是否互不相容,为什么?
解 因
P (
A ),
P (
B
)均大于0,又因
A与
B独立,因此
P (
AB
)=
P (
A )
P (
B
)>0,故
A与
B不可能互不相容.
29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8,求3个这种元件使用1000小时后,最多只坏了一个的概率.
解 设事件
Ai表示“使用1000小时后第
i个元件没有坏”,
i=1,2,3,显然
A1,
A2,
A3相互独立,事件
A表示“三个元件中最多只坏了一个”,则
A=
A1A2A3+
A2A3+
A1
A3+
A1A2
,上面等式右边是四个两两互不相容事件的和,且
P(
A1)=
P(
A2)=
P(
A3)=0.8
P(
A)=
=0.8
3+3×0.8
2×0.2
=0.896
30.
加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关,求零件的合格率.
解 设事件
A表示“任取一个零件为合格品”,依题意
A表示三道工序都合格.
P(
A)=(1-0.3)(1-0.2)(1-0.2)=0.448
31.
某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定二者独立,现在从外部打电话给该车间,求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第
m次才能打通的概率(
m为任何正整数).
解 设事件
Ai表示“第
i次能打通”,
i=1,2,…,
m,则
P(
A1)=(1-0.4)(1-0.3)=0.42
P(
A2)=0.58 ×
0.42=0.2436
P(
Am)=0.58
m-1 ×
0.42
32. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上,去上课时,每人任取一副眼镜,求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.
解 设
Ai表示“第
i人拿到自己眼镜
”,
i=1,2,3,4.
P (
Ai )=
,设事件
B表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且
=
A1+
A2+
A3+
A4.
P( )=
P(
A1+
A2+
A3+
A4)
=
P(
AiAj)
P(
Ai)
P(
Aj|
Ai)
=
P(
AiAjAk)=
P(
Ai)
P(
Aj|
Ai)
P(
Ak|
AiAj)
= × × (1≤
i<
j<
k≤4)
P(
A1A2A3A4)
=
P(
A1)
P(
A2|A1)
P(
A3|A1A2)
×P(
A4|
A1A2A3)
=
33. 在1,2,…,3000这3000个数中任取一个数,设
Am=“该数可以被
m整除”,
m=2,3,求概率
P(
A2A3),
P(
A2+
A3),
P(
A2-
A3).
解 依题意
P(
A2)=
,
P(
A3)=
P(
A2A3)=
P(
A6)=
P(
A2+
A3)=
P(
A2)+
P(
A3)-
P(
A2A3)
=
P(
A2-
A3)=
P(
A2)-
P(
A2A3)=
34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习,每人一次,如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6,计算下列事件的概率:
(1)只有一人投中;
(2)最多有一人投中;
(3)最少有一人投中.
解 设事件
A、
B、
C分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”,显然
A、
B、
C相互独立.设
Ai表示“三人中有
i人投中”,
i=0,1,2,3,依题意,
0.2×0.3×0.4× 0.024
P (
A3
)
=P (
ABC )
=P (
A )
P
(
B )
P (
C )
=0.8×0.7×0.6 0.336
P(
A2)=
P(
AB )+
P(
A
C)+
P(
BC)
=0.8×0.7×0.4+0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 0.452
(1)
P(
A1)=1-
P(
A0)-
P(
A2)-
P(
A3)
=1-0.024-0.452-0.336=0.188
(2)
P(
A0+
A1)=
P(
A0)+
P(
A1)=0.024+0.188=0.212
(3)
P(
A+
B+
C)=
P(
)=1-
P (
A0)=0.976
35. 甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,假定他们的命中率分别为0.4及0.5,问谁先投中的概率较大,为什么?
解 设事件
A2n-1B2n分别表示“甲在第2
n-1次投中”与“乙在第2
n次投中”,显然
A1,
B2,
A3,
B4,…相互独立.设事件
A表示“甲先投中”.
计算得知
P(
A)>0.5,
P( )<0.5,因此甲先投中的概率较大.
36.
某高校新生中,北京考生占30%,京外其他各地考生占70%,已知在北京学生中,以英语为第一外语的占80%,而京外学生以英语为第一外语的占95%,今从全校新生中任选一名学生,求该生以英语为第一外语的概率.
解 设事件
A表示“任选一名学生为北京考生”,
B表示“任选一名学生,以英语为第一外语”.
依题意
P(
A)=0.3,
P(
)=0.7,
P(
B|A)=0.8,
P(
B| )=0.95.
由全概率公式有
P(
B)=
P(
A)
P(
B|
A)+
P(
)
P(
B| )
=0.3×0.8+0.7×0.95=0.905
37.
A地为甲种疾病多发区,该地共有南、北、中三个行政小区,其人口比为9 : 7 :
4,据统计资料,甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰,2‰,5‰,求A地的甲种疾病的发病率.
解 设事件
A1,
A2,
A3分别表示从
A地任选一名居民其为南、北、中行政小区,易见
A1,
A2,
A3两两互不相容,其和为
Ω.设事件
B表示“任选一名居民其患有甲种疾病”,依题意:
P(
A1)=0.45,
P(
A2)=0.35,
P(
A3)=0.2,
P(
B|
A1)=0.004,
P(
B|
A2)=0.002,
P(
B|
A3)=0.005
=
= 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005
=0.0035
38.
一个机床有三分之一的时间加工零件
A,其余时间加工零件
B,加工零件
A时,停机的概率为0.3,加工零件
B时停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率.
解 设事件
A表示“机床加工零件
A”,则
表示“机床加工零件
B”,设事件
B表示“机床停工”.
39.
有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋,其中Ⅰ号袋内装有两个1号球,1个2号球与1个3号球,Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球,Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球,现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球,放入与球上号数相同的口袋中,第二次从该口袋中任取一个球,计算第二次取到几号球的概率最大,为什么?
解 设事件
Ai表示“第一次取到
i号球”,
Bi表示第二次取到
i号球,
i=1,2,3.依题意,
A1,
A2,
A3构成一个完全事件组.
应用全概率公式 可以依次计算出 . 因此第二次取到1号球的概率最大.
40.
接37题,用一种检验方法,其效果是:对甲种疾病的漏查率为5%(即一个甲种疾病患者,经此检验法未查出的概率为5%);对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1%,在一次健康普查中,某人经此检验法查为患有甲种疾病,计算该人确实患有此病的概率.
解 设事件
A表示“受检人患有甲种疾病”,
B表示“受检人被查有甲种疾病”,由37题计算可知
P(
A)=0.0035,应用贝叶斯公式
41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件,其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 :
2,各机床所加工的零件合格率,依次为94%,90%,95%,现在从加工好的整批零件中检查出一个废品,判断它不是甲机床加工的概率.
解 设事件
A1,
A2,
A3分别表示“受检零件为甲机床加工”,“乙机床加工”,“丙机床加工”,
B表示“废品”,应用贝叶斯公式有
42.
某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具,其概率分别为5%,15%,30%,50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%,70%,60%与90%,已知该旅行者误期到达,求他是乘坐火车的概率.
解 设事件
A1,
A2,
A3,
A4分别表示外出人“乘坐飞机”,“乘坐火车”,“乘坐轮船”,“乘坐汽车”,
B表示“外出人如期到达”.
=0.209
43. 接39题,若第二次取到的是1号球,计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.
解 39题计算知
P(
B1)=
,应用贝叶斯公式
44.
一箱产品100件,其次品个数从0到2是等可能的,开箱检验时,从中随机地抽取10件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收,若已知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率.
解 设事件
Ai表示一箱中有
i件次品,
i=0, 1, 2.
B表示“抽取的10件中无次品”,先计算
P (
B )
45. 设一条昆虫生产
n个卵的概率为
n=0, 1, 2, …
其中λ>0,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于
p(0<
p<1).
如果卵的孵化是相互独立的,问此虫的下一代有
k条虫的概率是多少?
解 设事件
An=“一个虫产下几个卵”,
n=0,1,2….
BR=“该虫下一代有
k条虫”,
k=0,1,….依题意
其中
q=1-
p. 应用全概率公式有
由于 ,所以有
习 题 二
1.
已知随机变量
X服从0-1分布,并且
P{
X≤0}=0.2,求X的概率分布.
解
X只取0与1两个值,
P{
X=0}=
P{
X≤0}-
P{
X<0}=0.2,
P{
X=1}=1-
P{X=0}=0.8.
2.
一箱产品20件,其中有5件优质品,不放回地抽取,每次一件,共抽取两次,求取到的优质品件数
X的概率分布.
解
X可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知
依次计算得
X的概率分布如下表所示:
3. 上题中若采用重复抽取,其他条件不变,设抽取的两件产品中,优质品为
X件,求随机变量X的概率分布.
解
X的取值仍是0, 1,
2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4,取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响,应用伯努利公式有
4. 第2题中若改为重复抽取,每次一件,直到取得优质品为止,求抽取次数X的概率分布.
解
X可以取1, 2, …可列个值. 且事件{
X =
n}表示抽取
n次,前
n-1次均未取到优质品且第
n次取到优质品,其概率为
. 因此
X的概率分布为
5. 盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个为旧球,采取不放回抽取,每次一个直到取得新球为止,求下列随机变量的概率分布.
(1)抽取次数
X;
(2)取到的旧球个数
Y .
解 (1)
X可以取1,
2,
3,
4各值.
(2)
Y可以取0, 1, 2, 3各值 .
6. 上题盒中球的组成不变,若一次取出3个,求取到的新球数目
X的概率分布.
解
X可以取0, 1, 2, 3各值.
7. 已知
P{
X=
n}=
pn,
n=1, 2, 3, …, 求
p的值.
解 根据 ,
有
解上面关于
p的方程,得
p=0.5.
8. 已知
P{
X=
n}=
pn,
n=2, 4, 6, …,求
p的值.
解
解方程,得
p= /2
9. 已知
P{
X=
n}=
cn,
n=1, 2, …, 100, 求
c的值.
解
解得
c=1/5050 .
10. 如果
pn=
cn_2,
n=1, 2, …,
问它是否能成为一个离散型概率分布,为什么?
解
由于级数 收敛, 若记 =
a,只要取 , 则有 =1,
且
pn>0.
所以它可以是一个离散型概率分布.
11. 随机变量
X只取1, 2,
3共三个值,其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列,求
X的概率分布.
解 设
P{
X=2}=
a,
P{
X=1}=
a-
d,
P{
X=3}=
a+
d.
由概率函数的和为1,可知
a= ,
但是
a-
d与
a+
d均需大于零,
因此|
d|< ,
X的概率分布为
其中
d应满足条件:0<|
d|<
12. 已知 ,
m =1, 2, …, 且
λ>0, 求常数
c.
解
由于 , 所以有
解得
13. 甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,直到有一人投中为止,假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5,求:
(1)二人投篮总次数
Z的概率分布;
(2)甲投篮次数
X的概率分布;
(3)乙投篮次数
Y的概率分布.
解 设事件
Ai表示在第
i次投篮中甲投中,
j表示在第
j次投篮中乙投中,
i=1,
3, 5, …,
j=2, 4, 6,…,且
A1,
B2,
A3,
B4,…相互独立.
(1)
(0.6×0.5) ·0.4
= 0.4(0.3)
k=1, 2, …
0.5×0.6×(0.6×0.5) =0.3
k
k=1, 2,
…
(2)
(3)
14.
一条公共汽车路线的两个站之间,有四个路口处设有信号灯,假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过,其概率为0.6,遇到红灯或黄灯则停止前进,其概率为0.4,求汽车开出站后,在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目
X的概率分布(不计其他因素停车).
解
X可以取0,
1,
2,
3,
4
.
P {
X=0
}
=0.4
P {
X=1
}=0.6×0.4=0.24
P {
X=2
}
=0.6
2×0.4=0.144
P {
X=3
}
=0.6
3×0.4=0.0864
P {
X=4
}
=0.6
4=0.1296
15.
问
f(
x)是否为一个概率密度函数,为什么?如果
(1)
解
在[0,
]与[0,
π]上,sin
x≥0,但是
而在 上,sin
x ≤0.因此只有(1)中的
a,
b可以使
f (
x)是一个概率密度函数.
16.
其中
c>0,问
f(
x)是否为密度函数,为什么?
解 易见对任何
x∈(-∞
,
+∞)
,
f
(
x )
≥
0,又
f(
x)是一个密度函数
.
17.
问
f (
x
)是否为密度函数,若是,确定
a的值;若不是,说明理由.
解 如果
f (
x )是密度函数,则
f
(
x
)≥0,因此
a≥0,但是,当
a≥0时,
由于 不是1,因此
f (
x
)不是密度函数.
18. 设随机变量
X~
f (
x
)
确定常数
a的值,如果
P {
a <
x <
b }
=0.5,求
b的值.
解
解方程
=1
得
a = 0
解关于
b的方程:
arctan
b=0.5
得
b=1.
19. 某种电子元件的寿命
X是随机变量,概率密度为
3个这种元件串联在一个线路中,计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.
解 串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作.
而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量,因此若用事件
A表示“线路正常工作”,则
20. 设随机变量
X~
f (
x
),
f (
x
)=
Ae
-|x|,确定系数
A;计算
P
{
|
X | ≤1
}.
解
解得
A=
21. 设随机变量
Y服从[0,
5]上的均匀分布,求关于
x的二次方程4
x2+4
xY+
Y+2=0有实数根的概率.
解 4
x2+4
xY+
Y+2=0. 有实根的充分必要条件是
△=
b2-4
ac
=16
Y2-16(
Y+2)=16
Y2-16
Y-32≥0
设事件
P(
A)为所求概率.则
=0.6
22. 设随机变量
X ~
f (
x ),
确定常数
c,计算
解
c =
23. 设随机变量
X的分布函数
F (
x
)为
确定系数
A,计算 ,求概率密度
f (
x
).
解 连续型随机变量
X的分布函数是连续函数,
F (1)=
F (1-0),有
A=1.
24. 求第20题中
X的分布函数
F (
x
)
.
解
当
t ≤
0时,
当
t>0时,
25. 函数(1+
x2)
-1可否为连续型随机变量的分布函数,为什么?
解 不能是分布函数,因
F (-∞)=
1
≠
0.
26. 随机变量
X~
f (
x
),并且 ,确定
a的值;求分布函数
F (
x );计算 .
解
因此
a =1
27. 随机变量
X的分布函数
F (
x
)
为:
确定常数
A的值,计算 .
解 由
F (
2+0
)=
F (
2
),可得
0.75
28. 随机变量
X~
f (
x
),
f (
x )=
确定
A的值;求分布函数
F (
x )
.
解
因此
A= ,
29. 随机变量
X~
f (
x
),
确定
a的值并求分布函数
F (
x )
.
解
因此,
a =
π
当0<
x<π时,
30. 随机变量
X的分布函数为
求
X的概率密度并计算 .
解 当
x ≤
0时,
X的概率密度
f (
x )
=0;
当
x >
0时,
f (
x
)
=
F′ (
x
)
31. 随机变量
X服从参数为0.7的0-1分布,求
X2,
X2-2
X的概率分布.
解
X2仍服从0-1分布,且
P
{
X2=0
}
=
P {
X=0
}
=0.3,
P{
X2=1}=
P{
X=1}=0.7
X2-2
X的取值为-1与0
,
P{
X2-2
X=0}
=
P {
X=0
}
=0.3
P {
X2-2
X=-1
}
=1-
P
{
X=0
}
=0.7
32. 已知
P {
X=10
n }
=
P {
X=10
-n
}=
Y=l
gX,求
Y的概率分布.
解
Y的取值为±1,
±2
,
…
P {
Y=
n }
=
P {
l
gX=
n }
=
P {
X=10
n
}
=
P {
Y=
-n }
=
P {
l
gX=-
n
}
=
P {
x=10
-n
}
=
n=1
,
2
,
…
33.
X服从[
a ,
b]上的均匀分布,
Y=
ax+
b
(
a≠0),求证
Y也服从均匀分布.
证 设
Y的概率密度为
fY
(
y )
,
X的概率密度为
fX
(
x ),只要
a ≠
0,
y =
ax +
b 都是
x的单调函数. 当
a >
0时,
Y的取值为[
a2+
b ,
ab+
b],
当 时,
fY (
y )
=0.
类似地,若
a<0,则
Y的取值为[
ab+
b
,
a2+
b ]
因此,无论
a>0还是
a<0,
ax+
b均服从均匀分布.
34. 随机变量
X服从[0
,
]上的均匀分布
Y=cos
X
,
求
Y的概率密度
fY (
y ).
解
y=cos
x在[0, ]上单调,在(0
,
1)上,
h
(
y )
=
x
=arccos
y
h′ (
y )
=
,
fx
(
x )
=
,
0
≤
x
≤
.
因此
35. 随机变量
X服从(0
,
1)上的均匀分布,
Y=e
x ,
Z
=|ln
X|,分别求随机变量
Y与
Z的概率密度
fY
(
y )
及
fZ (
z )
.
解
y =
e
x 在(0
,
1)内单调
,
x=ln
y可导,且
x′y =
,
fX (
x )
=1
0
<
x <
1
,
因此有
在(0
,
1)内ln
x <
0|ln
x|=-ln
x单调,且
x =
e ,
x′z=-e ,因此有
36. 随机变量
X~
f (
x )
,
Y =
,
Z =
X2 ,
分别计算随机变量
Y与
Z的概率密度
fy (
y )
与
fZ (
z )
.
解 当
x >
0时,
y = 单调,其反函数为
x
=
y2
,
x′y
=
2
y
当
x >
0时
z=
x2也是单调函数,其反函数为
x =
,
x′ z=
37.随机变量
X~
f (
x
),当
x ≥
0时, ,
Y=arctan
X ,
Z =
,分别计算随机变量
Y与
Z的概率密度
fY
(
y )
与
fz (
z )
.
解 由于
y =
arctan
x是单调函数,其反函数
x=tan
y ,
x′ y=sec
2y在 内恒不为零,因此,当0
<
y
< 时,
即
Y服从区间(0
,
)上的均匀分布.
z =
在
x>0时也是
x的单调函数,其反函数
x= ,
x′
z = .
因此当
z>0时,
即
Z =
与
X同分布.
38. 一个质点在半径为
R,圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.
求该质点横坐标
X的密度函数
fX (
x )
.
解 如图,设质点在圆周位置为
M,弧
的长记为
L,显然
L是一个连续型随机变量,L服从[0,π
R]上的均匀分布.
M点的横坐标
X也是一个随机变量,它是弧长
L的函数,且
X =
Rcos
θ =
Rcos
函数
x =
Rcos
l /
R是
l的单调函数
(
0<
l
<
πR )
,其反函数为
l =
Rarccos
当-
R <
x <
R时,
L′x ≠
0,此时有
当
x ≤
-
R或
x ≥
R时,
fX
(
x )
=0
.
39. 计算第2
,
3
,
5
,
6
,
11各题中的随机变量的期望.
解 根据第2题中所求出的
X概率分布,有
亦可从
X服从超几何分布,直接计算
在第3题中
亦可从
X服从二项分布(2, ),直接用期望公式计算:
在第5题中
(1)
(2)
在第6题中,
在第11题中,
40.
P {
X =
n }
= ,
n=1,
2,
3,
4,
5,
确定
C的值并计算
EX.
解
41. 随机变量
X只取-1,
0,
1三个值,且相应概率的比为1 : 2 :
3,计算
EX.
解 设
P {
X =-1
}
=
a,则
P {
X
=0
}
=2
a,
P
{
X=1
}
=3
a (
a>0
)
,因
a
+
2
a +
3
a
=
1
,
故
a
=1/6
42. 随机变量
X服从参数为0.8的0-1分布,通过计算说明
EX2是否等于(
EX )
2 ?
解
EX=
P {
X=1
}
=0.8,(
EX )
2 =0.64
EX2=1×0.8=0.8>(
EX )
2
43. 随机变量
X~
f (
x )
,
f (
x )
=0.5e
- | x
|,计算
EXn,
n为正整数.
解 当
n为奇数时, 是奇函数,且积分 收敛,因此
当
n为偶数时,
44. 随机变量
X~
f (
x )
,
计算
EXn(
n为正整数)
.
解
45. 随机变量
X~
f (
x )
,
b,
c均大于0,问
EX可否等于1,为什么?
解
而
由于方程组
无解,因此
EX不能等于1.
46. 计算第6,40各题中
X的方差
DX .
解 在第6题中,从第39题计算知
EX= ,
DX=
EX2-(
EX )
2≈0.46
在第40题中,已计算出
EX=
,
=
DX=
EX2-(
EX)
2≈1.77
47. 计算第23,29各题中随机变量的期望和方差.
解 在第23题中,由于
f (
x )
=
(0<
x<1),因此
DX =
EX2-
(
EX
)
2 =
在第29题中,由于
f (
x )
=
(
0<
x<π
)
,
因此
DX=
EX2-
(
EX )
2=
48. 计算第34题中随机变量
Y的期望和方差.
解
EY=
EY2=
DY=
49. 已知随机变量
X的分布函数
F (
x
)
为:
F (
x )
=
计算
EX与
DX .
解 依题意,
X的密度函数
f (
x )
为:
解
EX=
EX2=
DX=
50.
已知随机变量
X的期望
EX=
μ,方差
DX=
σ2,随机变量
Y
=
, 求
EY和
DY .
解
EY = (
EX-
μ )
=0
DY =
=1
51. 随机变量
Yn~
B
(
n,
)
,分别就
n=1,
2,
4,
8,
列出
Yn的概率分布表,并画出概率函数图
.
解
Y8
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
P
|
6561a
|
17496a
|
20412a
|
13608a
|
5670a
|
1512a
|
252a
|
24a
|
a
|
其中
a =
1/65536
.
图略
.
52. 设每次试验的成功率为0.8,重复试验4次,失败次数记为
X,求
X的概率分布
.
解
X可以取值0,
1, 2, 3, 4 .相应概率为
P (
X=
m )
=
(
m=0, 1, 2, 3,
4
)
计算结果列于下表
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
P
|
0.4096
|
0.4096
|
0.1536
|
0.0256
|
0.0016
|
53. 设每次投篮的命中率为0.7,求投篮10次恰有3次命中的概率
;至少命中3次的概率
.
解 记
X为10次投篮中命中的次数,则
X~
B (
10
,
0.7
)
.
=1-0.3
10-10×0.7×0.3
9-45×0.7
2×0.3
8
≈0.9984
54.掷四颗骰子,求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能(即概率最大)次数及相应概率.
解 掷四颗骰子,记“6点”出现次数为
X,则
X~
B(4, ).
EX =
np =
由于
np +
p =
,其
X的最可能值为[
np +
p
]=0
若计算 ,显然
概率更小.
55.已知随机变量
X~
B(
n,
p),并且
EX=3,
DX=2,写出
X的全部可能取值,并计算
.
解 根据二项分布的期望与方差公式,有
解方程,得
q= ,
p= ,
n=9
.
X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .
=
1- ≈
0.9999
56.随机变量
X~
B(
n,
p),
EX=0.8,
EX2=1.28,问
X取什么值的概率最大,其概率值为何?
解 由于
DX =
EX2-(
EX)2=0.64,
EX=0.8,
即
解得
q =
0.8,
p =
0.2,
n =
4
.
由于
np+
p=1,因此
X取0与取1的概率最大,其概率值为
57.随机变量
X~
B(
n,
p),
Y=e
aX,计算随机变量
Y的期望
EY和方差
DY
.
解 随机变量
Y是
X的函数,由于
X是离散型随机变量,因此
Y也是离散型随机变量,根据随机变量函数的期望公式,有
58.
从一副扑克牌(52张)中每次抽取一张,连续抽取四次,随机变量
X,
Y分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数,分别求
X,
Y的概率分布以及期望和方差.
解
X服从超几何分布,
Y服从二项分布
B(4, ).
具体计算结果列于下面两个表中.
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
P
|
46/833
|
208/833
|
325/833
|
208/833
|
46/833
|
Y
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
P
|
1/16
|
4/16
|
6/16
|
4/16
|
1/16
|
59. 随机变量
X服从参数为2的泊松分布,查表写出概率 并与上题中的概率分布进行比较.
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
P
|
0.1353
|
0.2707
|
0.2707
|
0.1804
|
0.0902
|
60.从废品率是0.001的100000件产品中,一次随机抽取500件,求废品率不超过0.01的概率.
解
设500件中废品件数为
X,它是一个随机变量且
X服从N=100000,
=100,
n=500的超几何分布.由于
n相对于
N较小,因此它可以用二项分布
B(500,0.001)近似.又因在二项分布
B(500,0.001)中,
n=500比较大,而
p=0.001非常小,因此该二项分布又可用泊松分布近似,其分布参数λ=
np=0.5.
61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于4为二等品,价值8元;4个以上者为废品,求:
(1)产品的废品率;
(2)产品价值的平均值
解
设
X为一件产品表面上的疵点数目,
(1)
(2)设一件产品的产值为
Y元,它可以取值为0,8,10.
62.设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布,经统计发现在某
本书上,有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.
解
设一页书上印刷错误为
X,4页中没有印刷错误的页数为
Y,依题意,
即
解得
λ=2,即
X服从
λ=2的泊松分布.
显然
Y~
B
63.每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布,若已知一个粮仓内,有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍,求粮仓内无鼠的概率.
解
设
X为粮仓内老鼠数目,依题意
解得
λ=1.
64.上题中条件不变,求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.
解
接上题,设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为
Y,则
Y~
B(10,
p),其中
65.设随机变量X服从
上的均匀分布,计算
E(2
X),
D(2
X), .
解
EX=2.5,
DX=
E(2
X)=5,
D(2
X)=4
DX=
,
66.随机变量X服从标准正态分布,求概率
P .
解
67.随机变量
X服从标准正态分布,确定下列各概率等式中的
a的数值:
(1) ;(2)
(3) (4)
解 (1) ,查表得
a=1.28
(2) ,得
Φ(
a)=0.95,
查表得
a=1.64
(3) ,查表得
a =2
(4) ,得
Φ (
a)= 0.55,
查表得
a = 0.13
68. 随机变量
X服从正态分布 ,求概率 ,
, .
解
P
=0.6826
69.随机变量
X服从正态分布 ,若 ,
,计算
μ和
σ的值,求 .
解
查表得:
解以
μ和
σ为未知量的方程组,得
μ =5.08,
σ=2.
=0.3228
70.已知随机变量 , , ,确定
c和d的值.
解
=
,
查表得
查表得
71.假定随机变量
X服从正态分布 ,确定下列各概
率等式中
a的数值:
(1)
(2)
(3)
解
=2
Φ(
a) -1
(1)2
Φ (
a)-1=0.9,
Φ
(
a)=0.95,
a=1.64;
(2)2
Φ (
a)-1=0.95,
Φ
(
a)=0.975,
a=1.96;
(3)2
Φ (
a)-1=0.99,
Φ
(
a)=0.995,
a=2.58.
72.某科统考的考试成绩
X近似服从正态分布 , 第100名的成绩为60分,问第20名的成绩约为多少分?
解
设参加统考人数为
n,则
=0.8413,
n=
设第20名成绩约为
a分,则
查表得
a=79.6
因此第20名的成绩约为80分.
习 题 三
1.袋内有四张卡片,分别写有数字1,2,3,4,每次从中任取一张,不放回地抽取两次,记
X、
Y分别表示两次取到的卡片上数字的最小值与最大值,求(
X,
Y)的概率分布.
解
(
X,
Y)可以取值为(1,2),(1,3),…,(3,4).事件
是两个互不相容事件“第一次取到数字1且第二次取到数字2”与“第一次取到数字2且第二次取到数字1”的和,其概率为1/6,类似地可以计算出其他
pij的值(见下表).
Y
|
2
|
3
|
4
|
pi.
|
1
|
|
|
|
|
2
|
0
|
|
|
|
3
|
0
|
0
|
|
|
p.j
|
|
|
|
|
2.求上题中随机变量
X与
Y的边缘分布.并计算期望
EX,
EY与方差
DX,
DY.
解
在(
X,
Y)的联合分布表中,将每一行对各列求和,得到X的边缘分布
pi.(
i=1,2,3).类似地,可以得到关于
Y的边缘分布,其具体结果见上题联合分布表.
EX=
3.一个袋内有10个球,其中有红球4个,白球5个,黑球1个,不放回地抽取两次,每次一个,记
X表示两次中取到的红球数目,
Y表示取到的白球数目,求随机向量(
X,
Y)的概率分布及
X、
Y的边缘概率分布.
解
显然(
X,
Y)的全部取值为(0,1),(0,2),…(2,0).
类似地可以计算出其他
pij的值(见下表):
4.上题中试验条件不变,若记
i=1,2,求随机向量 的概率分布,计算两次取到的球颜色相同的概率.
解
易见 的全部可能取值为(0,0),(0,1),…(2,1). 应用乘法公式
不难计算出
pij的全部值(见下表):
5.第3题中袋内球的组成及抽取次数不变,但是改为有放回抽取,求第4题中定义的随机向量 的概率分布.
解 的取值为(0,0),(0,1),… (2,2).
且 ,因此, 的联合概率分布为下表所示:
X2
X1
|
0
|
1
|
2
|
0
|
0.16
|
0.20
|
0.04
|
1
|
0.20
|
0.25
|
0.05
|
2
|
0.04
|
0.05
|
0.01
|
6.将3个球随机地放入四个盒子,记 表示第
i个盒子内球的个数,
i=1,2,求随机变量 与
的联合概率分布及关于 的边缘分布.
解
取值为(0,0),(0,1),…(3,0)
列成联合分布表如下,表中最下一列为
X2的边缘分布
p.j,
j=0,1,2,3.
X2
X1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
0
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
0
|
2
|
|
|
0
|
0
|
3
|
|
0
|
0
|
0
|
p.j
|
|
|
|
|
7.将3个球随机地放入四个盒子,设
X表示第一个盒子内球的个数,
Y表示有球的盒子个数,求随机向量(
X,
Y)的概率分布.
解
(
X,
Y)的取值为(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,2).
类似地可以依次计算出
pij的值(见下表):
Y
X
|
1
|
2
|
3
|
0
|
|
|
|
1
|
0
|
|
|
2
|
0
|
|
0
|
3
|
|
0
|
0
|
8.已知随机向量(
X,
Y)只取(0,0),(-1,1),(-1,2)及(2,0)四对值,相应概率依次为
, , 和 .列出(
X,
Y)的概率分布表,求
Y的边缘分布及
X+Y的概率分布.
解
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