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(ZT)概率统计(经济数学基础3)——课后答案!!(以后做数学作业不用愁了)-第1部分(共3部分)

2011-04-12 20:06阅读:

目 录

习题一······················································ (1)
习题二···················································· (16)
习题三···················································· (44)
习题四···················································· (73)
习题五···················································· (97)
习题六·················································· (113)
习题七·················································· (133)




习 题 一


1.写出下列事件的样本空间:
(1) 把一枚硬币抛掷一次;
(2) 把一枚硬币连续抛掷两次;
(3) 掷一枚硬币,直到首次出现正面为止;
(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M).

解 (1) ={正面,反面} {正,反}
(2) ={(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)}
(3) ={(正),(反,正),(反,反,正),…}
(4) ={x;0 ≤xm}
2.掷一颗骰子的试验,观察其出现的点数,事件A=“偶数点”,
B=“奇数点”,C=“点数小于5”,D=“小于5的偶数点”,讨论上述各事件间的关系.
解 

AB为对立事件,即B= ;BD互不相容;A DC D.
3. 事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务,i=1,2,3,B表示至少有两个车间完成生产任务,C表示最多只有两个车间完成生产任务,说明事件 及BC的含义,并且用Ai(i=1,2,3)表示出来.
解  表示最多有一个车间完成生产任务,即至少有两个车间没有完成生产任务.

BC表示三个车间都完成生产任务



图1-1


4. 如图1-1,事件ABC都相容,即ABCΦ,把事件ABABCACBCAB用一些互不相容事件的和表示出来.
解 



5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明.
解 两个对立的事件一定互不相容,它们不可能同时发生,也不可能同时不发生;两个互不相容的事件不一定是对立事件,它们只是不可能同时发生,但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中AD是对立事件,CD是互不相容事件.
6.三个事件ABC的积是不可能事件,即ABCΦ,问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.
解 不一定. ABC三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容,即两两互不相容.如图1-2,事件ABCΦ,但是AB相容.

图1-2

7. 事件AB相容,记CABDA+BFA-B. 说明事件ACDF的关系.
解 由于AB A A+BAB A A+BABAB互不相容,且AAB(AB). 因此有
AC+FCF互不相容,
D A FA C.
8. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率.
解 记事件A表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A的样本点数目#A= .而组成试验的样本点总数为#Ω= ,由古典概率公式有
P(A)=
(其中#A,#Ω分别表示有利于A的样本点数目与样本空间的样本点总数,余下同)
9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.
解 设事件B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 的样本点数为# .

10. 抛掷一枚硬币,连续3次,求既有正面又有反面出现的概率.
解 设事件A表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果,即#Ω8,因此

11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁,今任取两把,求能打开门锁的概率.
解 设事件A表示“门锁能被打开”. 则事件 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.

从9题-11题解中可以看到,有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.
12. 一副扑克牌有52张,不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:
(1)四张花色各异;
(2)四张中只有两种花色.
解 设事件A表示“四张花色各异”;B表示“四张中只有两种花色”.




13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分,5个壹分的硬币共10枚,从中任取5枚,求总值超过壹角的概率.
解 设事件A表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.


14. 袋中有红、黄、黑色球各一个,每次任取一球,有放回地抽取三次,求下列事件的概率:
A=“三次都是红球” “全红”,B=“全白”,
C=“全黑”,D=“无红”,E=“无白”,
F=“无黑”,G=“三次颜色全相同”,
H=“颜色全不相同”,I=“颜色不全相同”.
解 #Ω=33=27,#A=#B=#C=1,
D=#E=#F=23=8,
G=#A+#B+#C=3,
H=3!=6,#I=#Ω-#G=24



15. 一间宿舍内住有6位同学,求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.
解 设事件A表示“有4个人的生日在同一个月份”.
Ω=126,#A

16. 事件AB互不相容,计算P .
解 由于AB互不相容,有ABΦP(AB)=0

17. 设事件B A求证P(B)≥P(A).
证 ∵B A
P(B-A)=P(B) - P(A)
P(B-A)≥0
P(B)≥P(A)
18. 已知P(A)=aP(B)=bab≠0 (b>0.3a),
P(AB)=0.7a,求P(B+A),P(B-A),P( + ).
解 由于ABAB互不相容,且A=(A-B)+AB,因此有
P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.3a
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7ab
P(B-A)=P(B)-P(AB)=b-0.3a
P( + )=1-P(AB)=1-0.3a
19. 50个产品中有46个合格品与4个废品,从中一次抽取三个,计算取到废品的概率.
解 设事件A表示“取到废品”,则 表示没有取到废品,有利于事件 的样本点数目为# = ,因此
P(A)=1-P( )=1-
  =0.2255
20. 已知事件B AP(A)=lnb ≠ 0,P(B)=lna,求a的取值范围.
解 因B A,故P(B)≥P(A),即lna≥lnb, ab,又因P(A)>0,P(B)≤1,可得b>1,a≤e,综上分析a的取值范围是:
1<ba≤e
21. 设事件AB的概率都大于0,比较概率P(A),P(AB),
P(A+B),P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).
解 由于对任何事件AB,均有
AB A A+B
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(AB)≥0,因此有
P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B)
22. 一个教室中有100名学生,求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).
解 设事件A表示“100名学生的生日都不在元旦”,则有利于A的样本点数目为#A=364100,而样本空间中样本点总数为
Ω=365100,所求概率为

  = 0.2399
23. 从5副不同手套中任取4只手套,求其中至少有两只手套配成一副的概率.
解 设事件A表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”,则 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.


24. 某单位有92%的职工订阅报纸,93%的人订阅杂志,在不订阅报纸的人中仍有85%的职工订阅杂志,从单位中任找一名职工求下列事件的概率:
(1)该职工至少订阅一种报纸或期刊;
(2)该职工不订阅杂志,但是订阅报纸.
解 设事件A表示“任找的一名职工订阅报纸”,B表示“订阅杂志”,依题意P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B| )=0.85
P(AB)=P(A)+P( B)=P(A)+P( )P(B| )
=0.92+0.08×0.85=0.988
P(A )=P(AB)-P(B)=0.988-0.93=0.058
25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩,抽查一名学生,记事件A表示数学成绩优秀,B表示外语成绩优秀,若P(A)=P(B)=0.4,P(AB)=0.28,求P(AB),P(BA),P(AB).
解 P(AB)=
P(B|A)=
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.52
26. 设AB两个随机事件. 0<P(A)<1,0<P(B)<1,
P(AB)+P( | )=1. 求证P(AB)=P(A)P(B).
P ( A| )+P ( | )=1且P ( AB )+P( | )=1
P ( AB )=P (A| )

P(AB)[1-P(B)]=P( B)[P( A)-P( AB)]
整理可得
P(AB)=P( A) P( B)
27. 设AB独立,P( A)=0.4,P( AB)=0.7,求概率P (B).
解 P( AB)=P(A)+P( B)=P( A)+P( ) P( B)
 0.7=0.4+0.6P( B )
 P( B )=0.5
28. 设事件AB的概率都大于0,如果AB独立,问它们是否互不相容,为什么?
解 因P ( A ),P ( B )均大于0,又因AB独立,因此P ( AB )=P ( A ) P ( B )>0,故AB不可能互不相容.
29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8,求3个这种元件使用1000小时后,最多只坏了一个的概率.
解 设事件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”,
i=1,2,3,显然A1A2A3相互独立,事件A表示“三个元件中最多只坏了一个”,则AA1A2A3A2A3A1 A3A1A2 ,上面等式右边是四个两两互不相容事件的和,且P(A1)=P(A2)=P(A3)=0.8
P( A)=
=0.83+3×0.82×0.2
=0.896
30. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关,求零件的合格率.
解 设事件A表示“任取一个零件为合格品”,依题意A表示三道工序都合格.
P(A)=(1-0.3)(1-0.2)(1-0.2)=0.448
31. 某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定二者独立,现在从外部打电话给该车间,求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数).
解 设事件Ai表示“第i次能打通”,i=1,2,…,m,则
P(A1)=(1-0.4)(1-0.3)=0.42
P(A2)=0.58 × 0.42=0.2436
P(Am)=0.58m1 × 0.42
32. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上,去上课时,每人任取一副眼镜,求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.
解 设Ai表示“第i人拿到自己眼镜i=1,2,3,4. P ( Ai )= ,设事件B表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且 =A1A2A3A4.
P( )=P(A1A2A3A4)

P(AiAj) P(Ai)P(AjAi)
=
P(AiAjAk)=P(Ai)P(AjAi)P(AkAiAj)
= × × (1≤ijk≤4)
P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
×P(A4A1A2A3)
=


33. 在1,2,…,3000这3000个数中任取一个数,设Am=“该数可以被m整除”,m=2,3,求概率P(A2A3),P(A2A3),P(A2A3).
解 依题意P(A2)= ,P(A3)=
P(A2A3)=P(A6)=
P(A2A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3)

P(A2A3)=P(A2)-P(A2A3)=
34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习,每人一次,如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6,计算下列事件的概率:
(1)只有一人投中;
(2)最多有一人投中;
(3)最少有一人投中.
解 设事件ABC分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”,显然ABC相互独立.设Ai表示“三人中有i人投中”,i=0,1,2,3,依题意,

0.2×0.3×0.4× 0.024
P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )
=0.8×0.7×0.6 0.336
P(A2)=P(AB )+P(A C)+P( BC)
=0.8×0.7×0.4+0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 0.452
(1) P(A1)=1-P(A0)-P(A2)-P(A3)
=1-0.024-0.452-0.336=0.188
(2) P(A0A1)=P(A0)+P(A1)=0.024+0.188=0.212
(3) P(ABC)=P( )=1-P (A0)=0.976
35. 甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,假定他们的命中率分别为0.4及0.5,问谁先投中的概率较大,为什么?
解 设事件A2n-1B2n分别表示“甲在第2n1次投中”与“乙在第2n次投中”,显然A1B2A3B4,…相互独立.设事件A表示“甲先投中”.


    
计算得知P(A)>0.5,P( )<0.5,因此甲先投中的概率较大.
36. 某高校新生中,北京考生占30%,京外其他各地考生占70%,已知在北京学生中,以英语为第一外语的占80%,而京外学生以英语为第一外语的占95%,今从全校新生中任选一名学生,求该生以英语为第一外语的概率.
解 设事件A表示“任选一名学生为北京考生”,B表示“任选一名学生,以英语为第一外语”. 依题意P(A)=0.3,P( )=0.7,P(B|A)=0.8,P(B| )=0.95. 由全概率公式有
P(B)=P(A)P(BA)+P( )P(B| )
=0.3×0.8+0.7×0.95=0.905
37. A地为甲种疾病多发区,该地共有南、北、中三个行政小区,其人口比为9 : 7 : 4,据统计资料,甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰,2‰,5‰,求A地的甲种疾病的发病率.
解 设事件A1A2A3分别表示从A地任选一名居民其为南、北、中行政小区,易见A1A2A3两两互不相容,其和为Ω.设事件B表示“任选一名居民其患有甲种疾病”,依题意:
P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,
P(BA1)=0.004,P(BA2)=0.002,P(BA3)=0.005

= 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005
=0.0035
38. 一个机床有三分之一的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件A时,停机的概率为0.3,加工零件B时停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率.
解 设事件A表示“机床加工零件A”,则 表示“机床加工零件B”,设事件B表示“机床停工”.

    
39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋,其中Ⅰ号袋内装有两个1号球,1个2号球与1个3号球,Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球,Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球,现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球,放入与球上号数相同的口袋中,第二次从该口袋中任取一个球,计算第二次取到几号球的概率最大,为什么?
解 设事件Ai表示“第一次取到i号球”,Bi表示第二次取到i号球,i=1,2,3.依题意,A1A2A3构成一个完全事件组.




应用全概率公式 可以依次计算出 . 因此第二次取到1号球的概率最大.
40. 接37题,用一种检验方法,其效果是:对甲种疾病的漏查率为5%(即一个甲种疾病患者,经此检验法未查出的概率为5%);对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1%,在一次健康普查中,某人经此检验法查为患有甲种疾病,计算该人确实患有此病的概率.
解 设事件A表示“受检人患有甲种疾病”,B表示“受检人被查有甲种疾病”,由37题计算可知P(A)=0.0035,应用贝叶斯公式

   
   
41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件,其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2,各机床所加工的零件合格率,依次为94%,90%,95%,现在从加工好的整批零件中检查出一个废品,判断它不是甲机床加工的概率.
解 设事件A1A2A3分别表示“受检零件为甲机床加工”,“乙机床加工”,“丙机床加工”,B表示“废品”,应用贝叶斯公式有

    

42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具,其概率分别为5%,15%,30%,50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%,70%,60%与90%,已知该旅行者误期到达,求他是乘坐火车的概率.
解 设事件A1A2A3A4分别表示外出人“乘坐飞机”,“乘坐火车”,“乘坐轮船”,“乘坐汽车”,B表示“外出人如期到达”.


    
=0.209

43. 接39题,若第二次取到的是1号球,计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.
解 39题计算知P(B1)= ,应用贝叶斯公式

44. 一箱产品100件,其次品个数从0到2是等可能的,开箱检验时,从中随机地抽取10件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收,若已知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率.
解 设事件Ai表示一箱中有i件次品,i=0, 1, 2. B表示“抽取的10件中无次品”,先计算P ( B )


45. 设一条昆虫生产n个卵的概率为
n=0, 1, 2, …
其中λ>0,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p(0<p<1). 如果卵的孵化是相互独立的,问此虫的下一代有k条虫的概率是多少?
解 设事件An=“一个虫产下几个卵”,n=0,1,2….BR=“该虫下一代有k条虫”,k=0,1,….依题意


其中q=1-p. 应用全概率公式有



由于 ,所以有




习 题 二

1. 已知随机变量X服从0-1分布,并且P{X≤0}=0.2,求X的概率分布.
解 X只取0与1两个值,P{X=0}=P{X≤0}-P{X<0}=0.2,P{X=1}=1-P{X=0}=0.8.
2. 一箱产品20件,其中有5件优质品,不放回地抽取,每次一件,共抽取两次,求取到的优质品件数X的概率分布.
解 X可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知

依次计算得X的概率分布如下表所示:

X
0
1
2
P




3. 上题中若采用重复抽取,其他条件不变,设抽取的两件产品中,优质品为X件,求随机变量X的概率分布.
解 X的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4,取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响,应用伯努利公式有



4. 第2题中若改为重复抽取,每次一件,直到取得优质品为止,求抽取次数X的概率分布.
解 X可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n}表示抽取n次,前n-1次均未取到优质品且第n次取到优质品,其概率为 . 因此X的概率分布为

5. 盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个为旧球,采取不放回抽取,每次一个直到取得新球为止,求下列随机变量的概率分布.
(1)抽取次数X
(2)取到的旧球个数Y .
解 (1)X可以取1, 2, 3, 4各值.



(2) Y可以取0, 1, 2, 3各值 .




6. 上题盒中球的组成不变,若一次取出3个,求取到的新球数目X的概率分布.
解 X可以取0, 1, 2, 3各值.




7. 已知P{Xn}=pnn=1, 2, 3, …, 求p的值.
解 根据 ,

解上面关于p的方程,得p=0.5.
8. 已知P{Xn}=pnn=2, 4, 6, …,求p的值.
解 
解方程,得p= /2
9. 已知P{Xn}=cn, n=1, 2, …, 100, 求c的值.
解 
解得 c=1/5050 .
10. 如果pncn_2n=1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布,为什么?
由于级数 收敛, 若记 =a,只要取 , 则有 =1, 且pn>0. 所以它可以是一个离散型概率分布.
11. 随机变量X只取1, 2, 3共三个值,其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列,求X的概率分布.
解 设P{X=2}=aP{X=1}=ad, P{X=3}=a+d. 由概率函数的和为1,可知a= , 但是ada+d均需大于零,
因此|d|< , X的概率分布为
X
1
2
3
P
d

+d
其中d应满足条件:0<|d|<
12. 已知 ,m =1, 2, …, 且λ>0, 求常数c.
解 
由于 , 所以有

解得
13. 甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,直到有一人投中为止,假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5,求:
(1)二人投篮总次数Z的概率分布;
(2)甲投篮次数X的概率分布;
(3)乙投篮次数Y的概率分布.
解 设事件Ai表示在第i次投篮中甲投中,j表示在第j次投篮中乙投中,i=1, 3, 5, …, j=2, 4, 6,…,且A1, B2, A3, B4,…相互独立.
(1)
(0.6×0.5) ·0.4
       = 0.4(0.3) k=1, 2, …

     0.5×0.6×(0.6×0.5) =0.3k
k=1, 2, …
(2)



(3)



14. 一条公共汽车路线的两个站之间,有四个路口处设有信号灯,假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过,其概率为0.6,遇到红灯或黄灯则停止前进,其概率为0.4,求汽车开出站后,在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车).
解 X可以取0, 1, 2, 3, 4 .
P { X=0 } =0.4    P { X=1 }=0.6×0.4=0.24
P { X=2 } =0.62×0.4=0.144
P { X=3 } =0.63×0.4=0.0864
P { X=4 } =0.64=0.1296
15.
f(x)是否为一个概率密度函数,为什么?如果
(1)
在[0, ]与[0, π]上,sinx≥0,但是
而在 上,sinx ≤0.因此只有(1)中的a, b可以使f (x)是一个概率密度函数.
16.
其中c>0,问f(x)是否为密度函数,为什么?
解 易见对任何x∈(-∞ , +∞) , f ( x ) 0,又

f(x)是一个密度函数 .
17.
f ( x )是否为密度函数,若是,确定a的值;若不是,说明理由.
解 如果f ( x )是密度函数,则f ( x )≥0,因此a≥0,但是,当a≥0时,

由于 不是1,因此f ( x )不是密度函数.
18. 设随机变量Xf ( x )

确定常数a的值,如果P { a x b } =0.5,求b的值.
解 
解方程 =1
得 a = 0

解关于b的方程:
arctanb=0.5
得 b=1.
19. 某种电子元件的寿命X是随机变量,概率密度为

3个这种元件串联在一个线路中,计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.
解 串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量,因此若用事件A表示“线路正常工作”,则



20. 设随机变量Xf ( x ),f ( x )=Ae|x|,确定系数A;计算P { |X | ≤1 }.
解 
解得 A

       
21. 设随机变量Y服从[0, 5]上的均匀分布,求关于x的二次方程4x2+4xY+Y+2=0有实数根的概率.
解 4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是
△=b2-4ac =16Y2-16(Y+2)=16Y2-16Y-32≥0
设事件P(A)为所求概率.则

   =0.6
22. 设随机变量X f ( x ),

确定常数c,计算
解 
c =

23. 设随机变量X的分布函数F ( x )为

确定系数A,计算 ,求概率密度f ( x ).
解 连续型随机变量X的分布函数是连续函数,F (1)=
F (1-0),有A=1.


24. 求第20题中X的分布函数F ( x ) .
解 
t 0时,

t>0时,

     
25. 函数(1+x21可否为连续型随机变量的分布函数,为什么?
解 不能是分布函数,因F (-∞)= 1 0.
26. 随机变量Xf ( x ),并且 ,确定a的值;求分布函数F ( x );计算 .
解 
因此a =1




27. 随机变量X的分布函数F ( x ) 为:

确定常数A的值,计算 .
解 由F ( 2+0 )=F ( 2 ),可得


0.75
28. 随机变量Xf ( x ),f ( x )= 确定A的值;求分布函数F ( x ) .
解 
   
因此  A= ,

     
29. 随机变量Xf ( x ),

其他

确定a的值并求分布函数F ( x ) .
解 
因此,a = π
当0<x<π时,


30. 随机变量X的分布函数为

X的概率密度并计算 .
解 当x 0时,X的概率密度f ( x ) =0;
x 0时,f ( x ) F′ ( x )


        
31. 随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,求X2X2-2X的概率分布.
解 X2仍服从0-1分布,且P { X2=0 } P { X=0 } =0.3,P{X2=1}=P{X=1}=0.7
X2-2X的取值为-1与0 , P{X2-2X=0}
P { X=0 } =0.3
P { X2-2X=-1 } =1-P { X=0 } =0.7
32. 已知P { X=10n } P { X=10-n }=
Y=lgX,求Y的概率分布.
解 Y的取值为±1, ±2 ,
P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } =
P { Y=n } =P { lgX=-n } =P { x=10-n }
n=1 , 2 ,
33. X服从[a , b]上的均匀分布,Y=ax+b (a≠0),求证Y也服从均匀分布.
证 设Y的概率密度为fY ( y ) X的概率密度为fX ( x ),只要a 0,y = ax + b 都是x的单调函数. 当a 0时,Y的取值为[a2+b , ab+b],

当 时,fY ( y ) =0.

类似地,若a<0,则Y的取值为[ ab+b , a2+b


因此,无论a>0还是a<0,ax+b均服从均匀分布.
34. 随机变量X服从[0 , ]上的均匀分布Y=cosX , Y的概率密度fY ( y ).
解 y=cosx在[0, ]上单调,在(0 , 1)上,h ( y ) = x =arccosy
h′ ( y ) = , fx ( x ) = , 0 x . 因此

35. 随机变量X服从(0 , 1)上的均匀分布,Y=ex , Z =|lnX|,分别求随机变量YZ的概率密度fY ( y ) fZ ( z ) .
解 y = ex 在(0 , 1)内单调 , x=lny可导,且x′y = , fX ( x ) =1
0 x 1 , 因此有

在(0 , 1)内lnx 0|lnx|=-lnx单调,且
x = e ,x′z=-e ,因此有

36. 随机变量Xf ( x )

Y = , Z = X2 , 分别计算随机变量YZ的概率密度fy ( y ) fZ ( z ) .
解 当x 0时,y = 单调,其反函数为x = y2 , x′y = 2y

x 0时zx2也是单调函数,其反函数为x = , x′ z=

37.随机变量Xf ( x ),当x 0时, , Y=arctanX ,
Z = ,分别计算随机变量YZ的概率密度fY ( y ) fz ( z ) .
解 由于y = arctanx是单调函数,其反函数x=tany , x′ y=sec2y在 内恒不为零,因此,当0 y < 时,

Y服从区间(0 , )上的均匀分布.
z = x>0时也是x的单调函数,其反函数x= , x′ z = .
因此当z>0时,


Z = X同分布.
38. 一个质点在半径为R,圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X的密度函数fX ( x ) .
解 如图,设质点在圆周位置为M,弧 的长记为L,显然L是一个连续型随机变量,L服从[0,πR]上的均匀分布.

图2-1

M点的横坐标X也是一个随机变量,它是弧长L的函数,且
X Rcosθ Rcos
函数x = Rcosl / Rl的单调函数 ( 0< l πR ) ,其反函数为
l Rarccos

当-R x R时,L′x 0,此时有

x Rx R时,fX ( x ) =0 .
39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望.
解 根据第2题中所求出的X概率分布,有

亦可从X服从超几何分布,直接计算

在第3题中
亦可从X服从二项分布(2, ),直接用期望公式计算:

在第5题中
(1)
(2)
在第6题中,
在第11题中,

40. P { X = n } = , n=1, 2, 3, 4, 5, 确定C的值并计算EX.
解 


41. 随机变量X只取-1, 0, 1三个值,且相应概率的比为1 : 2 : 3,计算EX.
解 设P { X =-1 } a,则P { X =0 } =2a, P { X=1 }
=3a ( a>0 ) ,因a + 2a + 3a = 1 , a =1/6

42. 随机变量X服从参数为0.8的0-1分布,通过计算说明EX2是否等于( EX )2 ?
解 EXP { X=1 } =0.8,( EX )2 =0.64
EX2=1×0.8=0.8>( EX )2
43. 随机变量Xf ( x ) f ( x ) =0.5e- | x |,计算EXnn为正整数.
解 当n为奇数时, 是奇函数,且积分 收敛,因此

n为偶数时,


44. 随机变量Xf ( x )

其他

计算EXn(n为正整数) .
解 
  
    
45. 随机变量Xf ( x )

其他

b,c均大于0,问EX可否等于1,为什么?
解 


由于方程组

无解,因此EX不能等于1.
46. 计算第6,40各题中X的方差DX .
解 在第6题中,从第39题计算知EX= ,

DXEX2-( EX )2≈0.46
在第40题中,已计算出EX,

=
  DX=EX2-(EX)2≈1.77
47. 计算第23,29各题中随机变量的期望和方差.
解 在第23题中,由于f ( x ) = (0<x<1),因此


DX = EX2( EX )2 =
在第29题中,由于f ( x ) ( 0<x<π ) , 因此


DXEX2( EX )2=
48. 计算第34题中随机变量Y的期望和方差.
解 EY=
EY2=
DY=
49. 已知随机变量X的分布函数F ( x ) 为:
F ( x ) =
计算EXDX .
解 依题意,X的密度函数f ( x ) 为:

解 EX
EX2=
DX=
50. 已知随机变量X的期望EX=μ,方差DXσ2,随机变量Y = , 求EYDY .
解 EY = ( EXμ ) =0
DY = =1
51. 随机变量YnB ( n, ) ,分别就n=1, 2, 4, 8, 列出Yn的概率分布表,并画出概率函数图 .


解 
Y1
0
1

Y2
0
1
2
P



P




Y3
0
1
2
3
P





Y4
0
1
2
3
4
P







Y8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P
6561a
17496a
20412a
13608a
5670a
1512a
252a
24a
a

其中a = 1/65536 . 图略 .
52. 设每次试验的成功率为0.8,重复试验4次,失败次数记为X,求X的概率分布 .
解 X可以取值0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为
P ( Xm ) ( m=0, 1, 2, 3, 4 )
计算结果列于下表
X
0
1
2
3
4
P
0.4096
0.4096
0.1536
0.0256
0.0016
53. 设每次投篮的命中率为0.7,求投篮10次恰有3次命中的概率 ;至少命中3次的概率 .
解 记X为10次投篮中命中的次数,则 XB ( 10 , 0.7 ) .


=1-0.310-10×0.7×0.39-45×0.72×0.38
≈0.9984
54.掷四颗骰子,求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能(即概率最大)次数及相应概率.
解 掷四颗骰子,记“6点”出现次数为X,则XB(4, ).
EX = np =
由于np + p = ,其X的最可能值为[ np + p ]=0

若计算 ,显然
概率更小.
55.已知随机变量XBn, p),并且EX=3,DX=2,写出X的全部可能取值,并计算 .
解 根据二项分布的期望与方差公式,有

解方程,得q= ,p= ,n=9 .
X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .

= 1- ≈ 0.9999
56.随机变量XBnp),EX=0.8,EX2=1.28,问X取什么值的概率最大,其概率值为何?
解 由于DX = EX2-(EX)2=0.64, EX=0.8,

解得 q = 0.8,p = 0.2,n = 4 .
由于np+p=1,因此X取0与取1的概率最大,其概率值为

57.随机变量XBn, p),Y=eaX,计算随机变量Y的期望EY和方差DY .
解 随机变量YX的函数,由于X是离散型随机变量,因此Y也是离散型随机变量,根据随机变量函数的期望公式,有


58. 从一副扑克牌(52张)中每次抽取一张,连续抽取四次,随机变量XY分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数,分别求XY的概率分布以及期望和方差.
解 X服从超几何分布,Y服从二项分布B(4, ).

具体计算结果列于下面两个表中.

X
0
1
2
3
4
P
46/833
208/833
325/833
208/833
46/833


Y
0
1
2
3
4
P
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16

59. 随机变量X服从参数为2的泊松分布,查表写出概率 并与上题中的概率分布进行比较.


0
1
2
3
4
P
0.1353
0.2707
0.2707
0.1804
0.0902

60.从废品率是0.001的100000件产品中,一次随机抽取500件,求废品率不超过0.01的概率.
设500件中废品件数为X,它是一个随机变量且X服从N=100000, =100,n=500的超几何分布.由于n相对于N较小,因此它可以用二项分布B(500,0.001)近似.又因在二项分布B(500,0.001)中,n=500比较大,而p=0.001非常小,因此该二项分布又可用泊松分布近似,其分布参数λ=np=0.5.

61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于4为二等品,价值8元;4个以上者为废品,求:
(1)产品的废品率;
(2)产品价值的平均值
X为一件产品表面上的疵点数目,
(1)

(2)设一件产品的产值为Y元,它可以取值为0,8,10.

62.设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布,经统计发现在某
本书上,有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.
设一页书上印刷错误为X,4页中没有印刷错误的页数为Y,依题意,

解得λ=2,即X服从λ=2的泊松分布.

显然YB

63.每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布,若已知一个粮仓内,有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍,求粮仓内无鼠的概率.
X为粮仓内老鼠数目,依题意

解得λ=1.

64.上题中条件不变,求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.
接上题,设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y,则YB(10,p),其中

65.设随机变量X服从 上的均匀分布,计算E(2X),D(2X), .
EX=2.5,DX=
E(2X)=5,D(2X)=4DX= ,


66.随机变量X服从标准正态分布,求概率
P .




67.随机变量X服从标准正态分布,确定下列各概率等式中的a的数值:
(1) ;(2)
(3) (4)
解 (1) ,查表得a=1.28
(2) ,得Φa)=0.95,
查表得a=1.64
(3) ,查表得a =2
(4) ,得Φ (a)= 0.55,
查表得a = 0.13
68. 随机变量X服从正态分布 ,求概率 ,
, .


P

=0.6826
69.随机变量X服从正态分布 ,若 ,
,计算μσ的值,求 .


查表得:

解以μσ为未知量的方程组,得
μ =5.08,σ=2.

=0.3228
70.已知随机变量 , , ,确定c和d的值.

=

查表得


查表得
71.假定随机变量X服从正态分布 ,确定下列各概
率等式中a的数值:
(1)
(2)
(3)

=2Φ(a) -1
(1)2Φ (a)-1=0.9,Φ (a)=0.95,a=1.64;
(2)2Φ (a)-1=0.95,Φ (a)=0.975,a=1.96;
(3)2Φ (a)-1=0.99,Φ (a)=0.995,a=2.58.
72.某科统考的考试成绩X近似服从正态分布 , 第100名的成绩为60分,问第20名的成绩约为多少分?


设参加统考人数为n,则
=0.8413,n=
设第20名成绩约为a分,则



查表得
a=79.6
因此第20名的成绩约为80分.



习 题 三


1.袋内有四张卡片,分别写有数字1,2,3,4,每次从中任取一张,不放回地抽取两次,记XY分别表示两次取到的卡片上数字的最小值与最大值,求(XY)的概率分布.
XY)可以取值为(1,2),(1,3),…,(3,4).事件 是两个互不相容事件“第一次取到数字1且第二次取到数字2”与“第一次取到数字2且第二次取到数字1”的和,其概率为1/6,类似地可以计算出其他pij的值(见下表).

X

Y
2
3
4
pi.
1




2
0



3
0
0



p.j




2.求上题中随机变量XY的边缘分布.并计算期望EXEY与方差DXDY.
在(XY)的联合分布表中,将每一行对各列求和,得到X的边缘分布pi.i=1,2,3).类似地,可以得到关于Y的边缘分布,其具体结果见上题联合分布表.
EX=


3.一个袋内有10个球,其中有红球4个,白球5个,黑球1个,不放回地抽取两次,每次一个,记X表示两次中取到的红球数目,Y表示取到的白球数目,求随机向量(XY)的概率分布及XY的边缘概率分布.
显然(XY)的全部取值为(0,1),(0,2),…(2,0).

类似地可以计算出其他pij的值(见下表):

X




Y

0
1
2
0
0


1


0
2

0
0
4.上题中试验条件不变,若记

i=1,2,求随机向量 的概率分布,计算两次取到的球颜色相同的概率.
易见 的全部可能取值为(0,0),(0,1),…(2,1). 应用乘法公式

不难计算出pij的全部值(见下表):
X2
X1
0
1
2
0



1



2


0

5.第3题中袋内球的组成及抽取次数不变,但是改为有放回抽取,求第4题中定义的随机向量 的概率分布.
解  的取值为(0,0),(0,1),… (2,2).
且 ,因此, 的联合概率分布为下表所示:
X2
X1
0
1
2
0
0.16
0.20
0.04
1
0.20
0.25
0.05
2
0.04
0.05
0.01
6.将3个球随机地放入四个盒子,记 表示第i个盒子内球的个数,i=1,2,求随机变量 与 的联合概率分布及关于 的边缘分布.
取值为(0,0),(0,1),…(3,0)






列成联合分布表如下,表中最下一列为X2的边缘分布 p.jj=0,1,2,3.
X2
X1
0
1
2
3
0




1



0
2


0
0
3

0
0
0
p.j




7.将3个球随机地放入四个盒子,设X表示第一个盒子内球的个数,Y表示有球的盒子个数,求随机向量(XY)的概率分布.
解 (XY)的取值为(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,2).

类似地可以依次计算出pij的值(见下表):
Y
X
1
2
3
0



1
0


2
0

0
3

0
0
8.已知随机向量(XY)只取(0,0),(-1,1),(-1,2)及(2,0)四对值,相应概率依次为 , , 和 .列出(XY)的概率分布表,求Y的边缘分布及X+Y的概率分布.



Y
X
0
1
2

源地址:http://blog.renren.com/GetEntry.do?id=716620269&owner=298808442

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