插值型求积公式
2008-04-16 11:46阅读：
插值型求积公式
借助插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式。一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式。本节介绍的Newton—Cotes求积公式、复合求积公式及Gauss求积公式是三个很有代表性的插值型求积公式。
 |
基本思想
|
利用被积函数
f(
x)的插值函数
φ(
x)代替
f(
x)做定积分的近似计算来构造求积公式。
|
构造原理与分析
|
考虑被积函数
f(
x)在n个节点
x1,
x2，…,
xn上的n-1次Lagrange插值多项式Ln-1(
x)与
f(
x)的余项关系，有
这里
（6）式两边取积分，有
因为X1、X2、……、Xn是已知的，故lin-1(x)都是已知多项式，它们都可以用牛顿——莱布尼兹公式算出，记其值为
则有
舍去R(f),则得求积公式
（8）
由（7）式计算求积系数Ai的求积公式（8）称为插值型求积公式。
由插值型求积公式的构造过程可以看到，插值型求积公式的求积余项为: 
当f（X）为小于n次的多项式时，有f(n)(x)≡0，对应的R（f）=0，因此插值型求积公式（8）的代数精度至少为n-1。若取f（x）=1，代入（8），可得插值型求积公式的求积系数之和为b-a，即
下面我们具体讨论几个插值型求积公式。
Newton——Cotes求积公式
复合求积公式
Gauss型求积公式
