（转载）克罗内克尔符号δ初步（图）-周法哲
2011-11-30 23:11阅读：
上高等流体力学时对于突然引入的置换符号和克罗内克符号一直很晕，今天找了一下竟然找到详细的讲解的了。原文地址：http://zhoufazhe2008.blog.163.com/blog/static/6332686920098982245555/
希望周老师不要介意。
罗内克尔符号δ（Kronecker δ）在现代数学和计算机科学中神通广大，不可不识。本文初步介绍笛卡儿坐标系中的克罗内克尔符号。
一、克罗内克尔符号的来由
在笛卡儿坐标系中，坐标基矢不仅均为单位矢量，而且两两相互正交（即夹角90度），这样的一组坐标基矢叫做标准正交基。如下图所示：
图1 三维笛卡儿坐标系
以三维笛卡儿坐标系为例，三个坐标基矢之间有如下点积关系：
（1）
即下标相同的两个基矢的点积（即每个基矢的自点积）都等于1，表明坐标基矢均为单位矢量；下标不同的两个基矢的点积都等于0，表明坐标基矢两两相互正交。
为了简洁地表达上述关系，人们创造了如下的符号表达式：
（2）
称之为克罗内克尔符号，或克罗内克尔δ（Kronecker δ）。
上述的关系式（1）就可以简洁地记为
（3）
这就是同一组正交标准基内部的点积关系。
二、克罗内克尔符号的矩阵形式
由定义式（2）不难构想，以克罗内克尔符号的分量为元素，可以构成一个矩阵
（4）
显然是一个单位矩阵。即
（5）
这可以看作是克罗内克尔符号定义的矩阵形式。当然也是个对称矩阵，即有
（6）
克罗内克尔符号可以推广到n维的笛卡儿坐标系去使用，只要牢记它的两个指标均遍历其取值范围即可。即式（2）、（4）、（5）、（6）都不言而喻地隐含
（7）
在n维笛卡儿坐标系中，克罗内克尔符号的矩阵形式可以是n×n阶单位矩阵。
三、克罗内克尔符号的基本性质及用途
有了克罗内克尔符号，在研究多维矢量乃至张量时就方便多了。比如有两个矢量在笛卡儿坐标系的分量表达式分别为：
（8）
和
（9）
注意：这里使用了爱因斯坦求和约定（参见周法哲前几天的博文）。一对哑标（如i）可以同时用其它小写字母（如j）替换。替换哑标字母是为了作矢量乘法时避免指标混乱。
则这两个矢量的点积就可以表示为
（10）
根据克罗内克尔符号的定义式（2）或（5）可知，指标i不等于j的求和项全为0，只有i＝j的几项参加求和（这几项δ的数值为1），所以上式的求和结果还可以写成
（11）
这与我们过去熟悉的矢量点积的如下算式殊途同归。
（12）
注意：比较式（10）和（11）的结果，可以发现克罗内克尔符号的一个重要性质：
（13）
即：如果求和项中的哑标是克罗内克尔符号的指标之一，则结果是消去克罗内克尔符号，且另一个哑标因子的指标改换为原克罗内克尔符号的另一个指标（非哑标）。一般地，克罗内克尔符号的这个性质可表示为
（14）
综上所述，在n维笛卡儿坐标系中，任意两个矢量的点积运算过程可简洁地描述为
（15）
克罗内克尔符号还有许多性质和更多的用途，请注意周法哲今后的相关博文。不过克罗内克尔符号可以描述矢量乃至张量的点积运算，那么，矢量的叉积有没有简洁的符号表示呢？且听下回分解。
（作者：周法哲2009-9-8于广东）
