复杂性科学与第四次数学危机解决途径——结合克拉茨问题证明的思考
2016-03-23 01:16阅读：
复杂性科学与第四次数学危机解决途径
——结合克拉茨问题证明的思考
刘
拓
服从万有引力定律、保持空间相对运动关系的三体问题的现实模型——太阳、地球、月亮构成的天体力学系统的稳定性，事关人类的现实安危和未来命运。
十九世纪的最后一位全才、法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家亨利·庞加莱（Jules
Henri
Poincaré）在应征研究以太阳、地球、月亮系统稳定性为背景的“限制性三体问题”过程中，首次发现星际运行轨道具有（小扰动带来的）初值敏感性的“混沌现象”，由此揭开了复杂性科学（Complexity
Science）的帷幕。
进入二十世纪，科学家们找到了若干周期解。存在周期解，意味着系统的稳定模式是存在的。此后，工程技术和科学研究中的各类复杂性现象，也越来越多地进入了人类视野。人们惊讶的发现，其实很多常见的自然现象，如湍流等，几乎都能归结为复杂性科学的研究对象。量子力学早年的爱因斯坦和玻尔的决定论和非决定论的科学规律和哲学思想之争，实质是正是缘于量子物理客观上的复杂性。
协同论、突变论和耗散结构理论，控制论、信息论和系统论等新老三论，构成了前期的系统科学体系。而基于系统科学体系的研究各种复杂系统的当代复杂性科学，更是一个极为庞杂的科学门类群。当代人类活动和科学实践表明：“复杂”遍布大千世界，“复杂”几乎无所不在。诺贝尔物理学奖获得者霍金称，“21世纪将是复杂性科学的世纪”。
复杂的基本原因，是系统中存在着形形色色的“非线性”。不确定性、自组织性和涌现性，尤其是非线性，是复杂性科学问题的本质特征。现在，已经有足够的证据显示：当今数学、物理、化学、生物、社会、宇宙等各个科学领域的顶尖难题，几乎都与形态各异的“非线性”免不了干系。研究和解决非线性问题，数学家和物理学家尽管找到了很多有效方法，比如相图法、重整化法和数值解法等等，但往往都是针对某类具体问题适用的。非线性系统，往往既有初值敏感性，又有内在随机性。有时，人们还会基于概率统计理论，用处理一般随机性的方法来解决非线性问题。可以说，非线性系统的普适结构、演变机理的研究，是复杂性科学的共性问题。
数学是科学技术的精确语言和有力工具。人们将一门门具体科学，均称之为是“复杂的”，这可能意味着数学在描述和解决这类科学问题上存在某种无奈。面对似乎是“无序”的非线性问题，人们往往找不到在牛顿时代科学问题那般“有序”的线性结构、线性关系、线性逻辑、线性推理、线性方法、线性过程和线性结果。线性，同时意味着可逆。当时的科学家多以为，宇宙是像时钟那样运行，某一时刻宇宙的完整信息能够决定它在未来和过去任意时刻的状态。而非线性等复杂性问题的出现，无疑使拉普拉斯的决定论哲学信念，受到了强有力的冲击。
从庞加莱起始跨越长达三个世纪至今，处理涉及非线性的复杂性的认识和方法局限，暴露了当代数学的短板，引致了温水煮青蛙似的普遍性危机——第四次数学危机。
回顾历次数学危机历史，我们不难看到，
第一次数学危机——因无理数的出现而引发。毕达哥拉斯学派发现，无理数
不能用有理数度量，数与形出现“背离”。这个无法度量，实质是无法用“有限过程”来度量，其蕴含着无穷的“极限过程”。这次危机，最终以承认无理数的“合法性”，扩充出无理数集，与有理数集两者共同构成实数集而结束。
第二次数学危机——因微积分基础问题而引发。无穷小量在运算中的大量使用，涉及到无穷小量的性质“究竟是否是零”，也是个蕴含无限的过程。这次危机，以建立实数理论和数学分析的极限论（
语言）而终结。
第三次数学危机——因数学的最基础概念“集合”中出现悖论而引发。这次危机，因是否承认无穷集合和无穷基数而导致数学家（在实无穷和潜无穷上）的重大分歧。这就涉及到了数学基础，包括是否允许使用“选择公理”。一般认为，康托尔建立以基数和对应为核心的集合论，消除了危机，尽管“连续统假设”依然高悬。
总结历次危机的共性，都是蕴含无限问题和无限过程的。
第四次数学危机，也是涉及复杂系统的非线性中的无限过程的。解决这次危机的关键，在于对非线性的本质认识和技术处理。这里，将会涉及到有序性和无序性，离散性和连续性，结构确定性和内在随机性，结构稳定性和机理多变性，初值敏感性和结果规律性，等等具有对立统一性的数学范畴。
这次危机是全面的，类似于前面危机的累积总爆发和新态再爆发。其既有“无限过程”的危机共性，又有多方面的个性。非线性问题里，数值的混沌和图像的分形，是具有普遍性的。拉伸变换和自相似结构，是具有普遍性的。
据笔者研究，数论上的克拉茨问题（即一般称谓的3N+1猜想、3X+1猜想、奇偶归一猜想、冰雹猜想、乌拉姆问题、角谷问题等）和广义克拉茨问题，是破解非线性问题的一般结构和演变机理的最简模式之一。整体解决了克拉茨（原始和广义）问题，对于人类从微观上认识非线性问题的演化机理，具有重要的意义。
笔者在整体性离散拓扑结构分析的基础上，已经找到了一条复分析和实分析相结合的证明路线，给出了基于克拉茨变换的形式不变性的复分圆域估计和用微积分基本定理进行样条函数余项估计的完整证明（待发表）。
从证明过程看，用到了离散极限环的求极限过程，其中反映出非线性问题的初值敏感性、内在随机性和周期稳定性、轨道发散性，均是十分自然的。在解决克拉茨问题的过程中，离散动力系统的萨科夫斯基序和遍历论中的马尔科夫结构，都内含其中；从而揭示出确定和随机、离散和连续、有序和无序，在一定条件下是可以统一起来的，这些都具有深刻的哲学意义。特别值得指出的是，在证明中可以看到，线性和非线性，既是对立的，还是统一的。物理上的对称性破缺思想和处理非线性问题的重整化、粗粒化、正则化方法，在证明中都有思想和技术体现。
笔者给出的这个证明，没有沿着既往的求丢番图方程解的传统思路。从笔者在证明中引进的新概念和新方法来看，埃尔多什讲的“当代数学对此还没有做好充分准备”确是有道理的。从目前证明的细节来看，很多数学爱好者试图用初等数学方法和简单代数推导来证明来该猜想，几乎是不可能的。
成功解决了克拉茨问题，尤其是具体分析给出的证明过程，对于人类理解非线性等复杂性科学领域的核心问题，必将是大有裨益的。人类可以此为基点，打开化解第四次数学危机的一条通途。
