坐标平面上角的符号默认
一个实数x，按某项法律则f（x）与实数y对应。这就定义了一个函数
y= f（x）
当x改变一个△x之后，自变量之值为
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坐标平面上角的符号默认
一个实数x，按某项法律则f（x）与实数y对应。这就定义了一个函数
y= f（x）
当x改变一个△x之后，自变量之值为
x+△x。
不论△x是正还是负都这样表示。
如果这个实数是一个角的弧度数时，x、△x的正负的几何意义是什么？
在几何学中，角最初是作为一个几何图形来定义的。
有公共端点的两条半直线构成的图形称为角。这两条半直线称为角的边。这两条边的公共点称为顶点。在两条边上各取一个非顶点的点，这两点连线所在的平面部份称为角的内部，另一部份平面称为角的外部。内外两部分的共同边界就是角的两条边。当两条边重合时，整个平面只一部份，即除出边这一半直线之外的所有部份。当两条边构成一直线时，两边上各取一点的连线在边上，构成角的这一直线把平面分成两部份，这两部份分不了内外。
角的度量。角存在自然单位。常用的自然单，弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做一弧度的角。取定单位之后，每一个角都可测得一个实数，称为这个角的弧度数。
角的运算。角的加减都可通过它所对应的弧度数按实数的加减来进行。这样就会出现角的弧度数大于π或为负的情况。为了使角的减法运算都能进行，就需要对角的负值加以定义，为了使角的加法运算都能进行，还要定义大于π的角。
平面上的旋转只有两个不同的方式。可用力偶图象表示出来。如下图
也可把一支手掌面垂直对着平面，并微圈一点起来。这时，手指尖可确定这个平面上旋转的方向。当放上的是右手掌时，这样的旋转称为右系旋转，相当于逆时针方向旋转。另一个旋转方向正好相反，就是放上的是左手时，指尖所指的旋转方向。相当于顺时针方向。上图中，左面力偶所表示的旋转方向是右系；右面力偶表示的旋转方向是左系。
当角的一边绕顶点旋转时，角的大小可能增加或减小。可规定这个旋转为右系或左系时，角是增加。当规定这个旋转为右系时角是增加，反过来旋转时，角是减小。这个规定是默认规定。规定了角的增减旋转方向之后，并不能确定一个角的弧度数的符号。还需规定从那一条件边开始旋转最终达到另一边。即规定角的始边与终边。规定好始边之后，角的另一边就是终边。按角增加方向旋转时，所得的弧度数取为正值；按角减小方向旋转时，所得的弧度数取为负值。不论从那个方向旋转，旋转多少圈之后，转到终边时所得的弧度值就是这个角所表示的实数值。这样一来，一个角的几何图形，它所对应的实数x的值有无数多个。若x0是其中的一个值，则这些x的值可用公式
在平面上建立直角坐标系时，默认为右系。就是表示两坐标轴方向的单位向量构成直角，当用右系旋转，即逆时针完成这个直角时，这个直角的弧度数为π/2。这时的始边就是横轴。反过来，当坐标轴的横纵已确定之后，横轴正半轴绕原点旋转π/2正好达到纵轴正半轴时的旋转方向是角增加的方向。
在空间建立右系直角坐标系时，三第坐标轴的方向应满足这样的要求：把右手掌微圈放在一个坐标平面上，大姆指放置来垂直坐标面。若大姆指尖指向第三条坐标轴的正方面向，则其它指尖指向的方向是这个坐标平面的旋转正方向，并由此确定横轴与纵轴。这个要求可以这样来完成：首先建立右系的XOY坐标系，过原点O作这个平面的垂线，用右手握着这条垂线，伸直大姆指与这垂线平行，这时大姆指尖的方向就是OZ轴的正方向。
从空间坐标系中的各个坐标面来看，默认的横、纵轴是这样的：在XOY平面上，横轴是OX轴；在YOZ平面上，横轴是OY轴；在ZOX平面上，横轴是OZ轴。各象限的顺预命名也要据此而定。
在空间，每一个平面都可从不同的两侧分别去观查。从一侧去观查时，一条射线是逆时针旋转。则从另一侧去观查时，这同一个旋转变成了顺时针旋转了。因此，在右系坐标系中， “观查者与第三条坐标轴的正半轴位于这个被观查坐标平面的同一侧。这时观查到的逆时针旋转时，角度是增加的；顺时针旋转时，角度是减小的”。
若从另一侧去观查，即查者与第三条坐标轴的负半轴位于这个被观查坐标平面的同一侧去观查时，这时观查到的逆时针旋转时，角度是减小的；顺时针旋转时，角度是增加的”。
在上图中，∠AOY与∠AOZ都以OA为终边，但始边分别是坐标正半轴OY、OZ
二角的符号是异号。我们是从OX的负半轴所在一侧去观查，顺时针为增。若以几何图形所确定的角来度量角的绝对值，∠AOY之值为正，∠AOZ之值为负。
同理，
∠EOZ不在坐标平面上,一般就不区别正负,认为角的大小是几何图形角的度量值。
面向量OE的三个方位角是指这个向量与三个坐标单位向量分别所成的角。角旋转的增加方向是以坐标向量为始边，向量OE为终边，从二者构成的几何图形角的内部经过，由始边达到终边形成的旋转方向。这种增加方向的规定也是默认的。
要使用解析法来研究几何问题时，必须遵照执行这些默认。
象限的命名。两正半轴所确定的直角内部总是命名为一象形。然后按角的增加方向依次命名其余各直角落内部为二象限、三象限、四象限。
这样一来，上图中，在一象形中的终边分别是OA、OD；OB在坐标面YOZ上是在第二象限；OC在坐标面ZOX上是在第四象限。一、三象限不会判断错，二、四象限判断常常容易出错！
如果一个角的正负的规定另有定义。则用解析法时只能这样处理：建立坐标系时，使在坐标系内角的正负判断结果，与用原定义判断这个角的正负的结果一致。当这样的角不只一个时，可能出现这样的结果：不能通过建立坐标系来使每一个角的正负判断都一致。如果这时还要坚持使用解析法，就必须对原来角的正负定义作出修正。
当刃倾角与正交前角同位于基面的下侧时，各处于什么象限？
这与坐标系的建立即方法有关。以刀尖为坐标原点。
当刀刃在坐标轴OX上的投影在正半轴时，则刀具一定与OY轴的正半轴位于坐标面ZOX的同侧。如下图，∠XOZ 是刃倾角
这时，OA在三象限，λ为负。PB在三象限，γ0为正。
不论怎样建立坐标系，λ与γ0 总是异号。这就是说，要使用解析法来研究刀具的参数的有关问题时，λ、γ0的符号只能按上述二者之一来选择取。按习惯，上图中的正交前角总是定义为正值。则这时的刃倾角只能定义务负值。
如果只考虑刃倾角对前角的影响。在前面与切削面夹角不变的条件下，前角或正交前角的绝对值随刃倾角绝对值的增加而增加。其他地方不使用解析法。则把刃倾角的符号随意改变都没有关系。
不论△x是正还是负都这样表示。
如果这个实数是一个角的弧度数时，x、△x的正负的几何意义是什么？
在几何学中，角最初是作为一个几何图形来定义的。
有公共端点的两条半直线构成的图形称为角。这两条半直线称为角的边。这两条边的公共点称为顶点。在两条边上各取一个非顶点的点，这两点连线所在的平面部份称为角的内部，另一部份平面称为角的外部。内外两部分的共同边界就是角的两条边。当两条边重合时，整个平面只一部份，即除出边这一半直线之外的所有部份。当两条边构成一直线时，两边上各取一点的连线在边上，构成角的这一直线把平面分成两部份，这两部份分不了内外。
角的度量。角存在自然单位。常用的自然单，弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做一弧度的角。取定单位之后，每一个角都可测得一个实数，称为这个角的弧度数。
角的运算。角的加减都可通过它所对应的弧度数按实数的加减来进行。这样就会出现角的弧度数大于π或为负的情况。为了使角的减法运算都能进行，就需要对角的负值加以定义，为了使角的加法运算都能进行，还要定义大于π的角。
平面上的旋转只有两个不同的方式。可用力偶图象表示出来。如下图
也可把一支手掌面垂直对着平面，并微圈一点起来。这时，手指尖可确定这个平面上旋转的方向。当放上的是右手掌时，这样的旋转称为右系旋转，相当于逆时针方向旋转。另一个旋转方向正好相反，就是放上的是左手时，指尖所指的旋转方向。相当于顺时针方向。上图中，左面力偶所表示的旋转方向是右系；右面力偶表示的旋转方向是左系。
当角的一边绕顶点旋转时，角的大小可能增加或减小。可规定这个旋转为右系或左系时，角是增加。当规定这个旋转为右系时角是增加，反过来旋转时，角是减小。这个规定是默认规定。规定了角的增减旋转方向之后，并不能确定一个角的弧度数的符号。还需规定从那一条件边开始旋转最终达到另一边。即规定角的始边与终边。规定好始边之后，角的另一边就是终边。按角增加方向旋转时，所得的弧度数取为正值；按角减小方向旋转时，所得的弧度数取为负值。不论从那个方向旋转，旋转多少圈之后，转到终边时所得的弧度值就是这个角所表示的实数值。这样一来，一个角的几何图形，它所对应的实数x的值有无数多个。若x0是其中的一个值，则这些x的值可用公式
在平面上建立直角坐标系时，默认为右系。就是表示两坐标轴方向的单位向量构成直角，当用右系旋转，即逆时针完成这个直角时，这个直角的弧度数为π/2。这时的始边就是横轴。反过来，当坐标轴的横纵已确定之后，横轴正半轴绕原点旋转π/2正好达到纵轴正半轴时的旋转方向是角增加的方向。
在空间建立右系直角坐标系时，三第坐标轴的方向应满足这样的要求：把右手掌微圈放在一个坐标平面上，大姆指放置来垂直坐标面。若大姆指尖指向第三条坐标轴的正方面向，则其它指尖指向的方向是这个坐标平面的旋转正方向，并由此确定横轴与纵轴。这个要求可以这样来完成：首先建立右系的XOY坐标系，过原点O作这个平面的垂线，用右手握着这条垂线，伸直大姆指与这垂线平行，这时大姆指尖的方向就是OZ轴的正方向。
从空间坐标系中的各个坐标面来看，默认的横、纵轴是这样的：在XOY平面上，横轴是OX轴；在YOZ平面上，横轴是OY轴；在ZOX平面上，横轴是OZ轴。各象限的顺预命名也要据此而定。
在空间，每一个平面都可从不同的两侧分别去观查。从一侧去观查时，一条射线是逆时针旋转。则从另一侧去观查时，这同一个旋转变成了顺时针旋转了。因此，在右系坐标系中， “观查者与第三条坐标轴的正半轴位于这个被观查坐标平面的同一侧。这时观查到的逆时针旋转时，角度是增加的；顺时针旋转时，角度是减小的”。
若从另一侧去观查，即查者与第三条坐标轴的负半轴位于这个被观查坐标平面的同一侧去观查时，这时观查到的逆时针旋转时，角度是减小的；顺时针旋转时，角度是增加的”。
在上图中，∠AOY与∠AOZ都以OA为终边，但始边分别是坐标正半轴OY、OZ
二角的符号是异号。我们是从OX的负半轴所在一侧去观查，顺时针为增。若以几何图形所确定的角来度量角的绝对值，∠AOY之值为正，∠AOZ之值为负。
同理，
∠EOZ不在坐标平面上,一般就不区别正负,认为角的大小是几何图形角的度量值。
面向量OE的三个方位角是指这个向量与三个坐标单位向量分别所成的角。角旋转的增加方向是以坐标向量为始边，向量OE为终边，从二者构成的几何图形角的内部经过，由始边达到终边形成的旋转方向。这种增加方向的规定也是默认的。
要使用解析法来研究几何问题时，必须遵照执行这些默认。
象限的命名。两正半轴所确定的直角内部总是命名为一象形。然后按角的增加方向依次命名其余各直角落内部为二象限、三象限、四象限。
这样一来，上图中，在一象形中的终边分别是OA、OD；OB在坐标面YOZ上是在第二象限；OC在坐标面ZOX上是在第四象限。一、三象限不会判断错，二、四象限判断常常容易出错！
如果一个角的正负的规定另有定义。则用解析法时只能这样处理：建立坐标系时，使在坐标系内角的正负判断结果，与用原定义判断这个角的正负的结果一致。当这样的角不只一个时，可能出现这样的结果：不能通过建立坐标系来使每一个角的正负判断都一致。如果这时还要坚持使用解析法，就必须对原来角的正负定义作出修正。
当刃倾角与正交前角同位于基面的下侧时，各处于什么象限？
这与坐标系的建立即方法有关。以刀尖为坐标原点。
当刀刃在坐标轴OX上的投影在正半轴时，则刀具一定与OY轴的正半轴位于坐标面ZOX的同侧。如下图，∠XOZ 是刃倾角
这时，OA在三象限，λ为负。PB在三象限，γ0为正。
不论怎样建立坐标系，λ与γ0 总是异号。这就是说，要使用解析法来研究刀具的参数的有关问题时，λ、γ0的符号只能按上述二者之一来选择取。按习惯，上图中的正交前角总是定义为正值。则这时的刃倾角只能定义务负值。
如果只考虑刃倾角对前角的影响。在前面与切削面夹角不变的条件下，前角或正交前角的绝对值随刃倾角绝对值的增加而增加。其他地方不使用解析法。则把刃倾角的符号随意改变都没有关系。