范·希尔夫妇：几何思维水平和教学阶段
（节选自郑毓信著《国际视野下的小学数学教育》）
水平1：直观。学生能按照外观从整体上识别图形，这种识别活动并常常依赖于具体的样板，如学生说所给的图形是长方形，因为“它看起来像是门”，这时他们并不关心各种图形的特征性质，也未能清楚地认识各种图形的性质。
水平3：抽象/关联。这时学生已能形成抽象的定义，区分概念的必要条件和充分条件，并能通过非形式化推理将图形分类，即如认识到正方形可以被看成“具有某些附加性质的菱形”；但处于这一水平的学生尚不能理解逻辑推理是建立几何真理的方法，也不能组织起一系列命题来证明观察到的命题。
水平4：形式推理。这时学生已能对公理化系统中的未定义项、定义、公理、定理作出明确区分，并能作出一系列命题以对作为“已知条件”的逻辑结论的某个命题进行证明；但这时推理的对象还只是图形性质之间的关系，而并非不同演绎系统之间的关系，他们也还不能清楚地认识严密性的要求。
水平5：严密性/元数学。这时学生即使不参照模型也能以较大的严密性进行推理，这时推理的对象是形式化构造之间的关系，推理的产物则是几何公理系统的建立、详尽阐述和比较。
范·希尔夫妇认为，年龄或生物成熟程度并非决定学生思维发展水平的主要因素，恰恰相反，后者主要取决于教学的性质。也正由于具有了上述的想法，范·希尔夫妇更加关注教学的问题。特别是，他们曾提出了关于教学阶段的如下划分，即认为学生需要在教师的引导下通过五个阶段才能达到各个新的水平：
阶段1：信息。学生开始熟悉相关的内容。教师对内容作出必要的说明，并使学生接触相关的内容。在这一阶段中教师应通过讨论了解学生是如何理解这些词语的，并通过提供信息引导学生从事有目的的行动或获得相关的认知。
阶段2：定向指导。这一阶段的教学目标是让学生主动地进
（节选自郑毓信著《国际视野下的小学数学教育》）
水平1：直观。学生能按照外观从整体上识别图形，这种识别活动并常常依赖于具体的样板，如学生说所给的图形是长方形，因为“它看起来像是门”，这时他们并不关心各种图形的特征性质，也未能清楚地认识各种图形的性质。
水平3：抽象/关联。这时学生已能形成抽象的定义，区分概念的必要条件和充分条件，并能通过非形式化推理将图形分类，即如认识到正方形可以被看成“具有某些附加性质的菱形”；但处于这一水平的学生尚不能理解逻辑推理是建立几何真理的方法，也不能组织起一系列命题来证明观察到的命题。
水平4：形式推理。这时学生已能对公理化系统中的未定义项、定义、公理、定理作出明确区分，并能作出一系列命题以对作为“已知条件”的逻辑结论的某个命题进行证明；但这时推理的对象还只是图形性质之间的关系，而并非不同演绎系统之间的关系，他们也还不能清楚地认识严密性的要求。
水平5：严密性/元数学。这时学生即使不参照模型也能以较大的严密性进行推理，这时推理的对象是形式化构造之间的关系，推理的产物则是几何公理系统的建立、详尽阐述和比较。
范·希尔夫妇认为，年龄或生物成熟程度并非决定学生思维发展水平的主要因素，恰恰相反，后者主要取决于教学的性质。也正由于具有了上述的想法，范·希尔夫妇更加关注教学的问题。特别是，他们曾提出了关于教学阶段的如下划分，即认为学生需要在教师的引导下通过五个阶段才能达到各个新的水平：
阶段1：信息。学生开始熟悉相关的内容。教师对内容作出必要的说明，并使学生接触相关的内容。在这一阶段中教师应通过讨论了解学生是如何理解这些词语的，并通过提供信息引导学生从事有目的的行动或获得相关的认知。
阶段2：定向指导。这一阶段的教学目标是让学生主动地进