安徽省近五年中考数学第14题赏析
2014-07-02 22:00阅读：
纵观安徽省近年来的中考数学试卷，其题型、题量已自成风格，最明显的特征是稳中求新。除了每年的第23题压轴题让人耳目一新之外，其中第14题亦填空、亦多项选择，更是能让师生们细嚼慢咽、津津乐道。现列举安徽省2010至2014年的中考数学第14题加以品味，以飨读者。
一、试题回放
1、以等腰三角形为背景
例1、（2010年安徽第14题）如图1，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是
．
①∠BAD=∠A
CD
；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
图1 图2
解：易知①错误。
②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形，AB＝AC，②正确。
③当AB+BD=AC+CD时，延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC，连接AE、AF。∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC，∴△AEF是等腰三角形，∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，③正确。
④当AB﹣BD=AC﹣CD时，在△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD），
∵AB﹣BD=AC﹣CD①，
∴AB+BD=AC+CD②；
①+②得：，2AB=
2AC；∴AB=AC，④正确。
故填②③④．
赏析：本题考查的是等腰三角形的判定与性质，勾股定理及整式的变换。可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立，但能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键。
2、以新定义为背景
例2、（2011年安徽第14题）定义运算a※b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几个结论：
①2※（﹣2）=6；
②a※b=b※a；
③若a+b=0，则（a※a）+（b※b）=2ab；
④若a※b=0，则a=0．
其中正确结论的序号是
．（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）
解：∵a※b=a（1﹣b），
∴2※（﹣2）=2×[1﹣（﹣2）]=2×3=6，故①选项正确；
a※b=a×（1﹣b）=a﹣ab
b※a=b（1﹣a）=b﹣ab，
故②选项错误；
∵（a※a）+（b※b）=[a（1﹣a）]+[b（1﹣b}]=a﹣a2+b﹣b2，
∵a+b=0，
∴原式=（a+b）﹣（a2+b2）=0﹣[（a+b）2﹣2ab]=2ab，
故③选项正确；
∵a※b=a（1﹣b）=0，
∴a=0错误．
故①③正确。
赏析：本题主要考查了整式的混合运算，需先根据a※b=a（1﹣b）的运算法则，分别对每一项进行计算，在解题时能正确根据所提供的新定义公式进行运算是解题的关键。
3、以矩形为背景
例3、（2012•安徽第14题）如图3，P
是矩形ABCD
内的任意一点，连接PA
、PB
、PC
、PD
，得到△PAB
、△PBC
、△PCD
、△PDA
，设它们的面积分别是S
1、S
2、S
3、S
4，给出如下结论：
①S
1+S
2=S
3+S
4；②S
2+S
4=S
1+S
3；③若S
3=2S
1，则S
4=2S
2；④若S
1=S
2，则P
点在矩形的对角线上．
其中正确的结论的序号是
（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
图3
图4
解：如右图4，过点P
分别作PF
⊥AD
于点F
，PE
⊥AB
于点E
，
∵△APD
以AD
为底边，△PBC
以BC
为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB
，即可得出S
1+S
3=
矩形ABCD
面积；
同理可得出S
2+S
4=
矩形ABCD
面积；
∴S
2+S
4=S
1+
S3故②正确；
当点P
在矩形的两条对角线的交点时，S
1+S
2=S
3+S
4．但P
是矩形ABCD
内的任意一点，所以该等式不一定成立，故①不一定正确；
③若S
3=2S
1，只能得出△APD
与△PBC
高度之比，S
4不一定等于2S
2，故③错误；
④若S
1=S
2，
×PF
×AD=
PE
×AB
，
∴△APD
与△PBA
高度之比为PF：PE＝AB：AD，
∵∠DAE=
∠PEA=
∠PFA=90
°，
∴四边形AEPF
是矩形，
∴此时矩形AEPF
与矩形ABCD
相似，
∴PF：CD=PE：BC，
∴P
点在矩形的对角线上，故④正确。
故答案为：②和④．
赏析：此题主要考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3等于矩形ABCD面积的一半，以及PF：PE＝AB：AD，PF：CD=PE：BC，即可得出P点一定在AC上．根据已知得出PF：CD=PE：BC是解题关键
4、以折叠为背景
例4、（2013•安徽第14题）已知矩形纸片ABCD
中，AB=1
，BC=2
．将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF
不经过A
点（E
、F
是该矩形边界上的点），折叠后点A
落在点A′
处，给出以下判断：
①当四边形A
′CDF
为正方形时，EF=
；
②当EF=
时，四边形A
′CDF
为正方形；
③当EF=
时，四边形BA
′CD
为等腰梯形；
④当四边形BA
′CD
为等腰梯形时，EF=
．
其中正确的是
（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
解：∵在矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，
∴BC=2AB．
如图①
．∵A′CDF为正方形，说明A′F
刚好是矩形ABCD
的中位线，
∴AF=BA′=1，即点E
和点B
重合，EF
即正方形ABA′F
的对角线．
EF=
根2，AB=
根2．
故①
正确；
如图①
，由①
知四边形A′CDF
为正方形时，EF=
根2，此时点E
与点B
重合．
EF
可以沿着BC
边平移，当点E
与点B
不重合时，四边形A′CDF
就不是正方形．
故②
错误；
如图②
，∵BD=根5，EF=
根5，
∴BD=EF，
∴EF与对角线BD
重合．
易证BA′CD
是等腰梯形．
故③
正确；
BA′CD
为等腰梯形，只能是BA′=CD
，EF
与BD
重合，所以EF=
根5．
故④
正确．
综上所述，正确的是①③④
．
赏析：本题考查了折叠的性质．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
例5、（2014•安徽第14题）如图5，在平行四边形ABCD
中，AD=2AB
，F
是AD
的中点，作CE
⊥AB
，垂足E
在线段AB
上，连接EF
、CF
，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF=
∠BCD
；②EF=CF
；③S
△BEC=2S
△CEF；④∠DFE=3
∠AEF
．
图5
图6
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=1/2∠BCD，故①正确；
如图6，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDE，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④．
赏析：此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等知识，利用“倍长中线”的思路正确添加辅助线，得出△AEF≌△DME是解题关键。
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二、教学启发
笔者认为，近几年安徽中考数学的第14题才是整张试卷最难的一题，尤其是几何综合，对学生的知识掌握与应用都有很高的要求。虽然我们老师知道，在中考时，有许多学生是凭着感觉“蒙”对的这道题，但作为能力的训练与考查，我觉得这样的题目应该让学生当作非选择填空题来尝试解答，使他们知其所以然，教师也可以把这类题作为例题来讲解，举一反三，以期提高。
