最简真分数的和
2016-04-13 09:35阅读：
小学阶段，学习了分数内容后，经常出现求分母为某数的最简真分数的和。次数多了，我们惊奇的发现：最简真分数的和总是一个自然数。这其中有什么道理呢？
如果以n为分母，那么真分数有1/n
，2/n，……n-2/n,n-1/n，一共有N-1个真分数，这些真分数的和就是（1/n+2/n+……+n-2/n
+n-1/n），根据数列的规律，我们可以偿试利用加法结合律进行分组，即（1/n+n-1/n
+ 2/n+n-2/n + ……+ x/n
+n-x/n），这样一来就出现了新的问题，所有真分数是不是刚好可以两两组成一对呢？当n为奇数时，n-1是一个偶数，那么一定能够两两组成一对且没有剩余；当n为偶数时，n-1是一个奇数，那么两两组合之后，一定还会剩下一个数，而这个数则是这组分数的中位数a/n，而a=1/2n
,换句话来说，这个剩下的分数不可能是一个最简分数。谈到最简分数，我们再回头看看上式中的分数，每一组都会组成自然数1，而在这样的每一组数中，如果出现一个不是最简分数，则对应的另一个肯定也不是最简分数。这我们是做
如下证明：a/n不是最简分数，也就是说数a和数n除了1之外，还存在着一个公因数x，我们可以将上面的分数改成xb/xc,那么n-a/n就可以转化成xc-xb/xc,看出的分子和分母也存在着公因数x，即它也不是最简分数，这一组分数就是不符合要求的，综合上面的论述，我们不难看出，当n为偶数时，以它为分母的真分数，虽然不能刚好两两分成一组，但是剩下的那个分数不是最简分数，当n为奇数时，以它为分母的真分数，刚好两两分成一组，在我们分组之后，每一组的和都是1，当出现非最简分数时，这一组的两个分数都不是最简分数，故而不算在总和之内，但不影响结果还是一个自然数这一个结论。
结合以上的推断，我们可以说，当n的取值是大于2的自然数，以n为分母的最简真分数的和一定是一个自然数。
