高次剩余理论研究
2011-09-16 22:58阅读：
高次剩余理论研究
参赛队员
景琰杰
顾韬
指导老师
施洪亮
学校
华东师范大学第二附属中学
摘要
本文用初等数论的研究方法, 研究了当指数 为奇质数、
、 直到一般大于等于2的正整数
时,
高次剩余的一些基本性质, 最后讨论了关于符号
的一些基本性质.
关键词:
高次剩余
引言
平方剩余作为同余式理论的一项重要的组成部分, 在初等数论中一直占着举足轻重的地位.
1796年高斯发表的二次互反律为这一理论画上了一个圆满的句号.
但是高次剩余的研究却因为其情形的复杂、规律的不明显而一直没有完成. 本文用初等数论的研究方法,
研究了高次剩余的一些基本性质.
定义 假如
有解,
则称 为 的
次剩余,
否则称 为 的
次非剩余.
为方便计,
引入符号 . 当
时,
表示 是 的
次剩余;
当 时, 表示 是 的
次非剩余.
当 时即为熟悉的平方剩余, 此时 可略去不写, 简记为 .
正文
因为当 为合数时, 等价于一组模为质数的的同余方程组. 故这里先假定
为质数.
又因为当 时结论是平凡的（此时恒有
）.
故又假定 为奇质数.
1
的可解性
1.1
当
为奇质数时
当 为奇质数时, 由于 . 即 的完全剩余系的前半部分与后半部分的
次剩余一一对应互为相反数. 因此在讨论时, 只需要考虑 的完全剩余系的前半部分的
次剩余.
1.1.1当 =3时
有以下结论
定理 1. 1.
1（1）当
时 ,
恒成立,
当 时, 在 的完全剩余系中只有
个 使 .
证明：当 时, , 故
有三个不同的解,
除了 之外还有两个解 , , 且 , , , 即 , 在上式同时乘以 . 其中 满足 , 则 . 由此即得到剩下的
组剩余.
因此 的立方剩余有 个.
当 时, 有 , 假如 有三个不同的解, 则 , 故 .
由于 , ,
故矛盾,
得
故 至多有两个解, 是其中一个解.
假如 只有一个解 , 则 . 由于是 一次式, 其系数不为0, 故
必有解,
故解为 ,
即 ,
得 ,
即 ,
取 ,
得 ,
故 ,
而 ,
矛盾,
故 无解, 即 只有解 .
假如 有两个解 , , 且 , 即 , 则 . 因为 , 所以 . 设 , 则 , , , 即 有两个解, 这与
只有一个解矛盾,
故 至多有一个解.
假如 无解, 即 对任意
都成立,
则 对任意 都成立. 因为 , 所以 .
设 ,
则 对任意 都成立, 这与
有一个解矛盾,
故 至少有一个解.
综上,
只有一个解.
当 取遍 的完全剩余系时, 的3次剩余也取遍
的完全剩余系,
故定理成立.
当 时候
还有以下一些结论：
推论1. 1.
1（1）如果
满足 , ,
且 , , ,
则有 .
证明：由上述条件易知, , 即为满足
的两个不同解.
而由 可知 .
故 也满足 . 而又由于 只有两个解, 均不可能, 故 .
推论1. 1.
1(2) 如果 满足 , 且 , 则 , .
证明：当 满足
且 时, 满足 , 故
又 ,
