疯狂的恶棍与天才数学家——秦九韶与一次同余式理论

载《新发现》杂志2007年第3期
疯狂的恶棍与天才数学家
——秦九韶与一次同余式理论

江晓原


　　 关于中国人对于世界科学史的贡献，经常被提起的不外四大发明之类，其实还有一些不那么著名的贡献，也确实是由中国人作出，并且得到西方学者承认的。例如“中国剩余定理”——这是西方数学史著作中对一次同余式定理的称呼。因为关于这个问题最先出现于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》中，所以又被称为“孙子定理”。
　　对于这个问题，历史上的西方数学家也做过大量研究，但最重要的贡献由南宋数学家秦九韶作出。现今的数学史著作几乎都会提到秦九韶和他的数学著作《数书九章》。在今四川安岳（这里被认为是秦的故乡）还有秦九韶纪念馆，甚至还命名了一所“秦九韶中学”。但对于秦九韶究竟是何等样人，除了“伟大的数学家”之外，通常就讳莫如深了。用现代的眼光看，秦九韶可能是中国历史上少见的奇人之一。

　　所谓“一次同余式”问题，最早可见《孙子算经》卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问数几何？”用现代数学语言表示，就是求解一次同余式组：
　　N≡R₁（mod3）≡R₂（mod5）≡R₃（mod7）
其解可表示为：
　　N＝70 R₁＋21 R₂＋15 R₃－105P
　　这里P为整数，在上述问题中，R₁＝R₃＝2，R₂＝3，取P＝2，得到答案：N＝23。
　　在明朝程大位的数学著作《算法统宗》中，上述题解被写成一首在数学史上流传颇广的歌诀：
　　三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
　　不能小看这道题目（在数字很小且只有三组的情况下，凑数字也能求出其解），它背后的学问还是很大的。在欧洲，大约在公元10世纪时开始出现讨论一次同余式问题的萌芽，而世界科学史上一连串辉煌的名字都曾和这个问题联系在一起：例如阿尔哈桑（Ibn al Haithan