谈谈半素环与素根

2021-01-20 13:02阅读：

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我们可以通过理想来定义半素环（semiprime ring），R是半素环，若其零理想是半素理想。对于半素理想，可以有下面两种定义方式：环R的理想Q是半素的，若
a）对任何理想I，I^2≤Q → I≤Q.
b）Q是若干素理想的交。
典型例子：在整数环Z上，主理想（p_1p_2…p_n）是半素理想，其中各p_i是互不相同的素数。
在讨论半素环之前，我们先看素环（prime ring）的概念。R是素环，若其零理想是素理想。P是R的素理想，若对任何R的理想I与J，IJ≤P → I≤P或J≤P.
在交换的情形下，素环就是整环，半素环是约化环。
关于素理想，我们有下面的等价条件：
1）P是R的素理想。
2）对任何真包含P的理想I与J，IJ不包含于P。
3）R/P是素环。
条件2）说明可以只考虑真包含P的理想。我们还要下面的等价条件：
4）对任何R的左（或右）理想I与J，IJ≤P → I≤P或J≤P.
5）对任何x，y∈R，xRy≤P → x

∈P或y∈P.
其中条件5）的xRy是非交换情形的特殊要求，在矩阵环M_2（k）中，我们有素理想0，同时：E_11E_22 = 0（！）
从半素环的定义a）出发，我们有下面的等价条件：
1）理想Q满足定义a）
2）对任何主理想（a），（a）^2≤Q → （a）≤Q.
3）对任何元素a∈R，aRa≤Q → a∈Q.
此外，定义a）还等价于： a'）对任何理想I与n≥2，I^n≤Q → I≤Q.
下面我们说明3）与定义b）是等价的：
b）→3）：用素理想的等价性质5）.
3）→b）：我们证明更强的结论：Q是包含Q的所有素理想的交，即对任何a∈Q，存在素理想P≥Q，使得a∉P.
令a_0 = a，由3）存在a_1 = ara∉Q，其中r∈R，继续此过程可得一列（a_n），其中各a_i∉Q且a_(i+1) ∈a_iRa_i. 取P在不包含所有a_i的理想中极大，只需证明P是素理想。
为此，我们证明关于素理想的等价条件2）：I，J真包含P → IJ不包含于P。可取某a_i∈I\P，a_j∈J\P，不妨i≥j，则a_(i+1) ∈ a_iRa_i ≤ IJ，但a_(i+1) ∉ P！
以上论证是说明两个定义等价的核心，它将引导出强幂零元素（strongly nilpotent element）的概念。
定义环R的素根（prime radical）N（R）为R的所有素理想的交，它实际上是R的最小半素理想。
环R是半素环，若它满足下面等价条件：
1）零理想是若干素理想的交。
2）素根N（R）= 0.
3）R没有非零幂零理想（或单边理想）。
其中1）与2）就是定义b）的效果，而3）来自于定义a'）.
在交换环上，素根就是幂零根。可对非交换的情形，幂零根是崩溃的，比如在M_2（k）上，幂零元E_12与幂零元E_21的和可以不是幂零元！为此，我们引入强幂零的概念来补救，元素a∈R称为强幂零的，对任何序列（a_n），其中a_0 = a，a_(i+1) ∈a_iRa_i，它一定在有限步终止于零。
可以证明：a∈N（R） iff a是强幂零的。
若a∉N（R），存在素理想P，使得a∉P，由素理想的性质，存在a_1 = ara∉P，其中r∈R，继续此过程可得这样的序列（a_n）不终止于零（！）
若a不是强幂零，取这样的序列（a_n），它不终止于零，那么类似上文3）→b）的推理，不包含所有a_i的理想中的极大元P一定是素理想，但a∉P（！）
由此可得，素根是诣零的（nil），但它未必是幂零的（nilpotent），可以考虑环R=ΠZ/2^nZ. 左或右Noether环的素根一定是幂零的。
扩展阅读：
【1】 Lam T Y. A first course in noncommutative rings[M]. Springer Science & Business Media, 2013. （非交换环的经典参考书，对半素理想用定义a））
【2】Goodearl K R, Warfield Jr R B. An introduction to noncommutative Noetherian rings[M]. Cambridge university press, 2004. （非交换Noether环的经典参考书，对半素理想用定义b））
【3】McConnell J C, McConnell J C, Robson J C, et al. Noncommutative noetherian rings[M]. American Mathematical Soc., 2001. （非交换Noether环的大字典，预备知识中简明介绍素根）

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