关于层的直和与直积
2024-12-08 13:04阅读：27
考虑拓扑空间X上的Abel群层，约定：X是局部连通的Hausdorff空间。
对任何一点x∈X，可定义其上的摩天大楼层F_（x）为：对任何X的开子集U，
F_（x）（U）= Z，若x∈U；
F_（x）（U）= 0，否则。
考虑X上的一列层F_i，定义其直和为：对任何X的开子集U，
（ΣF_i）（U）= Sh（U→ ΣF_i（U））
这里Sh表示层化函子，Σ表示直和。
其言外之意就是，一般层的直和可能只是预层，下面我们看具体例子。
取X=R，F_k = F_（k），k∈Z是一列摩天大楼层，那么其直和就不是层：对任何X的开子集U，则
ΣF_i（U）是Z∩U上的紧支函数。事实上，对U=R，我们有：
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（ΣF_i）（R）= Sh（C_c（Z→Z））= C（Z→Z）= ΠZ ≠ ΣZ =
ΣF_i（R）
这说明直和层的整体截面不等于各层整体截面的直和。
对于层F_i的直积，可以直接定义为：对任何X的开子集U，
（ΠF_i）（U）= Π
F_i（U）
它直接就是层，但可能会不保持茎。
取X=[0,1] , F_k
= Z_[0,1/k)是[0,1/k)上常值层的零扩张。对任何X的开子集U=[0,1/n），有
（F_i）（U）= Z，若k ≤ n；
（F_i）（U）=
0，若k＞n.
因此，
（ΠF_i）（U）= Z^n
故它在原点的茎：
（ΠF_i）_0 = colim Z^n = ΣZ ≠ ΠZ =
Π（F_i）_0.
层作为预层的直和可能不是层，主要是因为直和相当于紧支函数，它在非紧空间内不能粘合，类似的例子还有层的张量积；层的直积可能不保持茎，主要是直积缺少有限性条件约束，可能不与正向极限交换。类似的例子还有层的Hom.
这两个反例可以参见【2】.
扩展阅读：
【1】Bredon G E.
Sheaf theory[M]. Springer Science & Business Media, 2012.
（拓扑空间上的层论参考书，内容非常丰富）
【2】Banagl M.
Topological invariants of stratified spaces[M]. Springer Science
& Business Media, 2007.
(分层空间理论的参考书，自带简明层论导引）
【3】MATHEW A.
Verdier duality[J]. Unpublsihed, on webpage at http://math.
uchicago. edu/~ amathew/verd. pdf, 2011.
（处理Verdier对偶的讲义，包含层的整体截面与直和不交换的例子）
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