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近世代数学习指导

2006-07-01 18:42阅读：

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近世代数学习指导
第一部分 内容提要
一、基本概念
1． 集合
概念；子集；运算：交、并、积
2． 映射
定义；满射；单射；一一映射；变换
3． 代数运算
定义；运算律：结合律、交换律、分配律
4． 同态与同构
同态映射；同态满射；同态；同构映射；同构；自同构
5．等价关系与集合的分类
二、群论
1． 群的定义及基本性质
第一定义：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ；第二定义：Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ；有限群的另一定义：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ’
2． 子集
定义；判定条件
3． 群的同态
群的同态；群的同构
4． 变换群与置换群
定义；置换的两种表示方法；凯莱定理
5． 循环群
定义；整数加群与模n的剩余类加群；循环群的构造
6． 子群的陪集
右陪集与左陪集；两个元同在一个右（左）陪集的条件；子群的指数；拉格朗日定理
7． 不变子群与商群
不变子群的定义及其判定条件；商群的定义；群的同态基本定理
三、环与域
1． 环的定义及其计算规则
2． 有附加条件的环
交换环；有单位元环；无零因子环及其特征；整环；除环及其乘群；域
3． 子环、环的同态
子环、子除环的定义及其判定条件；环的同态（同构）
4． 理想与剩余类环
理想（子环）的定义；主理想的定义；剩余类环的定义；环的同态基本定理
5． 最大理想
第二部分 思考题
1． 设A={1，2，…，10},　给出一个A×A到A的映射，这个映射是不是单射？
2． 设A={1，2，3}，规定A的一个代数运算，这个代数运算是不是适合交换律？
3．
设A={所有实数}， ={所有>0的实数}，给出一个A与 间的一一映射。
4． 设A={所有实数}，给出A的两个不同的一一变换（恒等变换除外）。
5． 设A={所有实数}， ={所有≥0的实数}，A和 的代数运算是普通乘法，证明：A到 的映射
是A到 的一个同态满射。
6． 设A={所有有理数}，A的代数运算是普通加法，证明：A到A的映射
是A的一个自同构映射。
7． 举一个有两个元的群的例，并写出
它的运算表。
8． 在一个群G里，若
9． 四次对称群S4的阶是多少？把S4的元
用循环置换的方法写出来。
10． 证明：一个循环群一定是交换群。
11． 证明：阶是素数的群一定是循环群。
12． 设群G=S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，求G的子群
H={（1）,（12）}的所有右陪集与左陪集，H是不是一个不变子群？
13． 设群G=S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，
证明：G的子群N={（1），（123），（132）}是一个不变子群，并给出商群G/N。
14． 假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：G/N也是循环群。
15． （1）举一个是交换环，无零因子环，但不是有单位元环的例；
（2）举一个是除环，但不是域的例。
16．（1）举一个是交换环、有单位元环，但不是无零因子环的例；
（2）举一个是除环，但不是整环的例。
17.假定R是一个有单位元的无零因子环，且R对于加法来说作成一个循环群，
证明：R是一个整环。
18．假定R是一个有n( )个元的交换环，且R无零因子，证明：R是一个域。
19．假定R是整数环，证明：（2，5）=（1）
20．假定R是偶数环，证明：（4）是R的最大理想。
解答
1． φ1：
φ2：
都 是A×A到A的映射，它们都不是单射。
2． 由下面两表给出的都是A的代数运算：
1
2
3
1
1
2
3
2
2
3
1
3
3
1
2
1
2
3
1
3
3
3
2
2
2
2
3
1
1
1
前一个不适合交换律，后一个适合交换律。
3． φ：
4．
5.
6．
1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
7. G={1,-1}对于普通乘法来说作成一个群（二次单位根群），它的运算表是
又如，模2的剩余类加群，二次对称群都是有两个元的群。
8．由a=a-1，得a2=e,故a的阶是1或2。
9．S4的阶是4！=24
10．设循环群G=（a）,那么对于G的任两个元am,an有
aman=am+n=an+m= an am,
故G是一个交换群。
11．设群G的阶为素数p，在G中取一元a≠e,则a生成G的一个循环子群(a),设 (a) 的阶为n,那么n≠1,但由拉格朗日定理，n|p,故n=p,从而G=(a)，是一个循环群。
12． H(1)={(1),(12)}, H(12)=H(1);
H(13)={(13),(123)}, H(123)=H(13);
H(23)={(23),(132)}, H(132)=H(23).
以上是H的所有右陪集。
(1) H ={(1),(12)}, (12) H = (1) H;
(13) H ={(13),(132)}, (132 ) H =(13) H;
(23) H ={(23),(123)}, (123) H =(23) H.
以上是H的所有左陪集。
可见，H(13) ≠(13)H，H(23)≠H(23),故H不是一个不变子群。
13． N(1)={(1),(123),(132)},(1)N={(1),(123),(132)}
N(12)={(12),(23),(13)},(12)N={(12),(13),(23)}
故 N(1)=N(123)=N(132)=(1)N=(123)N=(132)N;
N(12)=N(23)=N(13)=(12)N=(23)N=(13)N.
因此,N是一个不变子群,G/N={(1)N,(12)N}.
14.循环群G是交换群,故G的子群N是不变子群,从而G/N有意义. 设G=(a),则对于G/N的任意元amN,
当m=k(正整数)时,有
akN=(aN)…(aN)=(aN)k
当m=-k时,有
a-kN=(a-1N)…(a-1N)=(aN)-1…(aN)-1=(aN)-k;
当m=0时,有
a0N=eN=(eN)0.
总之,amN=(aN)m, 故G/N=(aN), 也是一个循环群.
15.(1)偶数环是交换环、无零因子环,但不是有单位元环;
(2)四元数除环是除环,但不是域.
16.(1)当n不是素数时,模n的剩余类环是交换环、有单位元环，但不是无零因子环；
（2）四元数除环是除环,但不是整环。
17．设R作为加群是由元a生成的循环群，则 有b=ma,c=na,这里m、n 是整数，于是
bc=(mn)a2=(nm)a2=cb.
故R是交换环，又R是有单位元的无零因子环，故R是一个整环。
18．因为R至少有两个元，故R*非空，并且
Ⅰ.由于R没有零因子,故R*对于乘法来说是闭的;
Ⅱ.由于R里乘法的结合律成立,故 R*里乘法的结合律也成立;
Ⅲ’.由于R没有零因子,故R*里消去律成立.
因此, R*是一个乘群,从而R是一个除环,又R是交换环,故R是一个域.
19. (2,5)={2m+5n|m,n是整数},又
1=2×3+5×(-1),
故(2,5) 1,从而(2,5)=R=(1).
20. (4)={4m+4n|m是偶数,n是整数},即
(4)={4n|n是整数}
设M是R的一个理想,且M (4),M≠(4),那么M 4t+2,从而M 4t+2-4t=2.由此,M=R,故(4)是最大理想.

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