乔治格林及格林函数法
2006-05-14 22:12阅读：
乔治·格林及格林函数法
摘要:乔治·格林是一位重要的数学物理学家。简要介绍了乔治·格林的生平和科学研究经历，揭示了帮助他取得重要科学研究成果的主要因素，介绍了格林函数法的建立过程及其重要性。
关键词:格林；格林函数；格林函数方法
George Green and Green function
Abstact:George Green was an important physicist.Green’s life and
his experience on science research are briefly introduced,the main
fators which help Green do the science works of great value are
revealed,and draws the path in which Green set up Green
function.
Keywords:George Green;Green’s function;Green function method
物理学史研究者最为关注的物理学家有这样几类:一流的物理大师；做出的物理贡献在其身后影响巨大的物理学家；成长与研究经历不同凡响的物理学家。乔治格林(George
Green,1793-1841)则是兼具了这几类特征的数学物理学家。
乔治•格林在做出最重要的贡献前至多只上过两年小学，所从事过的唯一的职业也只是一个不引人注目的面包师和磨房主。1841年在他47岁病故于家乡时也没有在科学界产生任何波澜。在他去世4年后，著名物理学家开尔文发现了格林大约20年前发表的重要研究成果。从此，格林开始引起学术界的重视。20世纪五六十年代后格林函数法成为了量子统计不可或缺的重要方法。
然而，直到今天，人们对格林的形象、性格以及兴趣爱好等仍然几乎一无所知。不过，1972年，在格林的家乡，诺丁汗(
Nottingham)大学物理系成立了乔治格林纪念基金会(George green Memorial
Fund)，1985年，人们重新在诺丁汗修复了格林成赖以为生的磨房。而且，经过一些研究者的努力，对格林的科学生涯的认识基本上有了一个连贯的粗线条的轨迹，虽然其间仍缺乏无弥补的细节。然而在中国物理学界，基本上还没
有专门研究格林的文章，对格林还缺乏应有的认识。
1格林生平
乔治·格林1793年出生在英国的诺丁汗，1841年5月31日在诺丁汗的斯内顿(Sneinton)去世。关于格林出生的具体日期存在着争议，文献[1]经过分析指出过去文献中认为格林出生于1793年7月14日的看法有误。事实上，这只是格林出生后在当地教堂洗礼的日期，而按习惯洗礼日期一般比真实出生日期要晚。文献1的作者认为格林的出生日期不会早于6月初，也不会晚于6月14日。然而在诺丁汗大学的格林纪念基金网站(http//www.nottingham.ac.uk/physics)上，则被认定为出生于1973年7月13日。
1801年3月格林开始到家乡的一所小学学习，但到1802年夏天他就结束了学习生涯。这一时间该学校有文挡记录。这样看来，格林早年的学生生涯只有短短的三个学期。但格林纪念基金会网站却标记，1800-1801，学习四个学期。看来这又是一个有争议的问题。但不管怎样，格林在做出巨大贡献前的学生生涯至多也不会超过两年的时间。分析这一细节的原因是这段时间对格林的一生是至关重要的。
在这段时间里，一个重要人物，即这个学校的时年25岁的校长Robert
Goodacre,对格林的影响深刻。正是他将格林领进了科学领域。
这位校长写过许多关于数学以及教育方面的教科书，他通过演讲成功地激发并培养了幼小的格林在数学和自然科学方面的兴趣并使之发扬光大，直到不可思议地在科学上做出巨大的贡献。而导致格林早早结束小学生涯的直接原因是他父亲的面包房生意需要格林帮忙。
1807年以后格林父子除烤面包外还增添了磨房生意，生意很好也比较繁忙。但在打理生意之余格林没有间断自学。后来人们找到了他用过的书目清单。这其中包括拉普拉斯的《天体力学》等著作以及拉格朗日的关于数学物理方面的著作的英文版本，还有英国伦敦皇家学会的年鉴。；另外，有证据表明他还阅读过法国科学家毕奥库仑以及泊松等人的论著。诺丁汗是一个远离首都中心的城市，但仍有一系列科学家公开演讲的相关文献系统地递送到诺丁汗，格林也从中吸取了不少科学营养。
1861年在一些热心捐献者的大力倡导下，诺丁汗的图书馆成立并开放了。这个图书馆对于格林的生活起了重要的作用。也正是这些热心的捐献者的资助，1828年格林出版了他的最重要的科学著作《关于数学分析应用于电磁理论的一篇论文》(An
Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories
of Electricity and
Magnetism).据说资助者有四五十人。可以肯定只有很少人对这本书能有专业人员的兴趣。这说明19世纪初期，在英国民间已经形成了良好的社会科学文化氛围。在某种意义上讲，这一氛围，我们今天仍很缺乏。
当时英国的这种良好的社会科学文化氛围对于格林，亦或是对于仅长格林两岁的物理学大师法拉第的成长过程，其作用是十分重要的。当时即使是在首都伦敦，在皇家研究院成立之前，人们也只能在当地的哲学学会才能听到科学家们的演讲。但与格林出身相近，20左右的法拉第也可以参加城市哲学会这样的民间组织，实现“完善自我”的目的。所以英国当时能出现法拉第；格林这样的一流自然科学家，除却他们个人的勤奋和天赋外，很重要的一点就是，19世纪初期的英国民间具备了孕育科学大师的社会条件。这一点值得我们充分注意。
1829年，格林的父亲去世。格林决定中止家庭的面包坊及磨房生意，到大学学习。1833年10月他进入剑桥最古老的学院之一—Gonville
and Caius学院学习，并于1837年以甲等第四名的优异成绩毕业。
1837年到1839年格林至少发表了六篇文章，其中一篇是研究波在波导中传播规律的，另外几篇分别涉及流体力学、声学、光学等内容。1939年他被选为母校的学术协会会员。
正当格林的研究工作向更广阔的领域拓展并取得进一步成就时，他的身体健康状况却突然出现问题，格林不得不返回家乡修养。由于身体一直未能康复，他再没离开老家诺丁汗。1841年5月31日，格林在诺丁汗的斯内顿去世，其直接病因是在今天微不足道的流行性感冒。
诺丁汗当地的三家报纸为格林发布了奠文，其中一家报纸的出版商恰巧就是引导格林进入科学殿堂的、他的小学校长Robert
Goodacre的儿子.
无论是他家乡还是他母校的人们很快将他忘记了，当时的英国科学界也没有对格林的去世产生任何反应。
2格林函数法
文献[4]指出:“……格林是第一个沿着大陆上的工作线索前进的英国大数学家。他的工作培养了数学物理学者的庞大的剑桥学派，其中包括威廉·汤姆逊(William
Thomson)爵士、斯托克斯(Gabriel Stokes)爵士、瑞利(Rayleigh)勋爵和克拉克·迈克斯韦(Clerk
Maxwell)。”⑷
这一评价不仅说明了格林对剑桥学派以及整个英国科学界的影响，也指出了格林研究工作的渊源，那就是法国、德国等数学物理学家们开创的位势理论。
18世纪的数学物理学家们在牛顿的万有引力的深入研究中引入位势ψ(x,y,z)的概念，它满足方程:
这个方程称为位势方程，也叫拉普拉斯方程。但事实上，它第一次是出现在欧拉1752年的重要论文《流体运动理论》之中，只不过当时出现的是速度势S(x,y,z).欧拉承认他不知道解该方程的一般方法。
泊松进一步发展了位势方程，他指出，对于体系内部的ψ(x,y,z)满足:
其中ρ为吸引体的质量密度，它也是x,y,z的函数，即有ρ=ρ(x,y,z)。这个由泊松给出的方程人称泊松方程。
泊松曾提醒研究者们注意，可在电学方面的研究中利用这个势函数
。泊松自己解决了在相互邻近的诸导体表面上电荷分布的许多问题。他的指导思想是在然而，泊松在电学领域应用势函数的想法和做法还都是十分初步的，事实上，“在位势方程方面，尽管有拉普拉斯、泊松、高斯（gauss）以及别人的工作，但关于它的解的一般性质在19世纪20年代还几乎毫无所知……”[4]
历史就这样为格林提供了走上科学舞台的机会，他认真研究了泊松的文章，并最终将泊松的把位势函数引入电磁学研究中去的想法变成了事实。
格林证明了在现在的高等数学教材中必不可少的格林公式:
格林利用这一公式，解决了满足拉普拉斯方程Δμ=0，并满足第一类边界条件μ/S。=μ。的位势问题，格林引入了满足以下条件的函数v，用u在边界上的值u。来表示物体内部的u，这里v满足如下条件：
1） v在所研究区域表面上必须是0；
2） 在区域内部一点p上，3） v像1/r这样变为无穷（即r远远小于小于1，而4）
实际上相当于狄拉克引入的δ（r）函数），5） 其中r是点p与区域内部任意点间的距离；
6） v在内部必须满足位势方程。
这样，u在任一内点便可表示为
这个函数v后来从黎曼开始称为格林函数。
格林就这样给出了拉普拉斯方程即位势方程的第一边值条件下的解。
现在通常以G(r,r₀)表示格林函数v，在电学中其含义是位于点r。的电荷量为ε₀δ(r-r)的点电荷在
r处的电势，r=|r-r|
对于第三类边界 下的拉普拉斯Δμ=0
令格林函数G(r,r₀)满足第三类齐次边界条件，则有
则方程的解可表为
而对于更加复杂的泊松方程
Δμ=ƒ(r)
它在第一、第三类边界条件下的解为
根据这个结果，只要确定了相应物理意义下的格林函数，就可以求拉普拉斯方程甚至泊松方程的边值问题，这就是所说的格林函数法。
这些工作都包含在格林1828年的著名论文中。
1835年格林又着手研究变密度椭球体的引力势φ的问题，他证明了如下命题：当φ在物体给定时，在整个物体上刚好存在一个函数满足φ=0，没有奇点，有给定的边界值，为了证明该命题，格林假定存在一个函数极小化积分：
而“这就是Dirichlet原理的第一次使用”
在同一篇文章中，格林用n维代替进行分析推论，并给出了我们现在叫超球面函数的重要结果。
“总之，格林引入了许多主要概念，其意义远远延伸到位势方程之外。”⁴
前面已提到，在格林去世后，首先是开尔文发现了格林研究成果的重要性，他把格林的研究成果介绍了当时法国的科学中心巴黎，大数学家刘维尔、沙勒以及斯图姆等人研究了他的发现，并为应用格林函数法能有效的解决问题而感到激动。19世纪50年代，格林的研究成果在欧洲大陆已经广泛传播开来，但是在英国，格林的重要文章直到1871年才再次公布发表。
历史进入到20世纪，物理学家们再次发现了格林函数法的重要性，下面是专家们的几段评价：
“量子力学的数学结构，包括相对论和非相对论性的体系，之所以能得到了澄清，主要是用了格林的表述方法。”⁵
“自从（20世纪）50年代后期将量子场论中的格林函数法引入到统计物理中以后，在研究多体系统的基态性质和热平衡性质方面取得了很大进展。”⁶
“我们感到，在研究非平衡态物理过程中，这种方法（指格林函数法）有一些优点，表面上它显得复杂一点，只要深入进去，就会看到它是一种有效的方法。”
“对于具有无穷多自由度系统，不可能将一部分自由度的运动完全分出来形
成一个封闭的力学系统，但是我们又无法同时考虑所以自由度的运动，因而必要把我们感兴趣的一部分自由度分出来，而把其余自由度的影响归结为耗散和涨落……用闭路格林函数的方法讨论非平衡统计方面的问题，能较系统地处理耗散和涨落的影响。”⁶
需要指出的是，在量子统计中应用的格林函数法中的格林函数与经典格林函数有着本质区别，这方面的深入介绍已不属于本文范围，有兴趣者可详细研读文献[5]与文献[6]。
3几点启示
今天，我们追思乔治格林的意义至少如下几点：
1)
从狭义的教育的角度看，国外的格林研究者们都充分肯定了格林的小学老师对格林影响的重要性。这给我们教育工作者带来了关于教育理念的一个有益的启示，一个小学老师，不可能教给学生从事科学研究的必须知识，然而，他可以培养学生热爱科学和对科学产生强烈的兴趣，教会学生学会自学，学会自己思考，并树立独立解决问题的信心，这些比具体的知识本身更为重要/
2)从社会大教育角度看，我们前文强调过，从做出了卓越科学贡献的格林、法拉第等自学成材者身上充分反映出19世纪初期的英国社会就已经具备了良好的民间和社会的科学文化氛围，形成了能够孕育自学成材的科学大师的必要条件。而在21世纪的今天，虽然网络缩短了时空，科学和文化有了巨大的发展，但如何打造我国更好的明间和社会的科学文化氛围，仍是教育工作者以及更多其他领域人士应该认真关注的重要问题。
3)从很多渠道可以知道，今天在中国也确实存在相当数量的、没受过足够正规教育的民间科学爱好者和研究者，这不是坏事，这在一定意义上反映出科学在中国已深深地扎下了根须。然而，我们的民间科学研究者往往是志向宏远地试图攻克歌德巴赫猜想类难题，或是绞尽脑汁地设计设计违背起码
科学原理的永动机……格林的成功经历告诉我们，民间科学研究者未必做不出科学贡献，一定意义上说爱因斯坦早年也可以成为民间研究者，但关键是民间科学研究者该干什么、怎么干？格林首先是扎扎实实地长期自学科学知识，研究当时世界一流的科学家的著作，爱因斯坦在没有导师的情况下也是这样干的，希望我们的民间科学研究者们也能从这些先行者身上受到激励并得到启发。
参考文献
[1]Yu A Lyubimov .George
Green:hislifeandworks[J].Physics-Uspekhi,1994,37(1):97～109.
[2][美]约瑟夫·阿盖西.法拉第传[M].鲁旭东，康利伟译.北京:商务印书馆，2002.25.
[3][日]和达三树.物理用数学[M].刘嘉达译.北京:北京师范大学出版社，1989.159.
[4][美]莫里斯·克莱因.古今数学思想(第三册)[M].万伟勋，石生明，孙树本译.上海:上海科学技术出版社，2002.66-72
[5][美]拜伦F M,富勒R W.物理学中的数学方法(第二卷)[M].蔡纬译.北京:科学出版社，1982.458
[6]郝柏林，于渌，等.统计物理学进展[M].北京:科学出版社，1981.268-271.
