解释一下2019年全国高考一卷理科数学第21题（就是给小白鼠试药的那道题）

2019-06-17 15:28阅读：

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首先这个实验的思路跟乒乓球、羽毛球的记分思路相似：以乒乓球为例，如果甲、乙二人一局乒乓球甲至少得到11分且至少领先乙2分才能获胜，也就是说甲11：10、12：11、13：12……领先不行，得11：9、12：10、13：11、14：12……领先才算获胜。这里看的是净胜球，不是得分比例，比如甲12：11领先时的甲乙分数比要大于甲120：118领先时的甲乙分数比，但前者不算甲获胜，后者算甲获胜。
这道题题干相当于把甲至少得到11分且至少领先乙2分换成了甲至少得到4分且至少领先乙4分。
第一问信息比较清晰，直接看标准答案就行了，下面分析第二问：
相比于乒乓球比赛，第二问又做了改动，具体情况如下：
1.乒乓球比赛是从0：0开始记分，甲赢一个球则甲得1分，乙不扣分，乙赢一个球则乙得1分，甲不扣分；现在变成了从4：4开始记分，甲赢一个球则甲得1分，乙扣1分，乙赢一个球则乙得1分，甲扣1分；
2.乒乓球比赛是甲至少得到11分且至少领先乙2分时甲获胜，乙至少得到11分且至少领先甲2分时乙获胜；现在变成了甲8：0领先乙时甲获胜，乙8：0领先甲时乙获胜。

当然这里还有一个问题，就是本题涉及的情况存在一个球打完了，双方都不得分的情况（甲、乙药分别治愈了一只小白鼠，或甲、乙药分别没有治愈一只小白鼠）；根据题目的规定，打一个球时，甲赢这个球的概率为c，乙赢这个球的概率为a，这个球双方都不得分的概率为b；由于这个球双方都不得分的情况无论发生多少次都对比分没有影响，因此可以视这种情况为无效实验。
那么忽略所有无效实验（当然理论上可能不出现无效实验），设在有效实验中，甲得1分，乙扣1分的概率为ρ，则乙得1分，甲扣1分的概率为(1-ρ)，那么ρ=c/(a+c)，1-ρ=a/(a+c)；对于这道题来说，c=0.1，b=0.5，a=0.4，则ρ=0.2，1-ρ=0.8。
第二问直接给了个P(i-1)、Pi、P(i+1)的关系式，第一小问让我们求P(i+1)-Pi和Pi-P(i-1)的关系，而那个P(i-1)、Pi、P(i+1)的关系式显得来历不明，这里解释一下：
根据题目规定，在甲得分为i-1、i、i+1的情况下，甲获胜的概率分别为P(i-1)、Pi、P(i+1)；那么，如果甲的得分是i，那么甲获胜的情况分成两类：
1.下一个球之后甲的得分变成i+1，其概率为ρ，此后甲获胜的概率为P(i+1)；
2.下一个球之后甲的得分变成i-1，其概率为(1-ρ)，此后甲获胜的概率为P(i-1)。
那么：
Pi=ρP(i+1)+(1-ρ)P(i-1)
Pi=cP(i+1)/(a+c)+aP(i-1)/(a+c)
(a+c)Pi=cP(i+1)+aP(i-1)
(1-b)Pi=cP(i+1)+aP(i-1)
Pi=aP(i-1)+bPi+cP(i+1)
即第二问给出的式子。
进一步看：
Pi=ρP(i+1)+(1-ρ)P(i-1)
Pi-ρPi=ρP(i+1)-ρPi+(1-ρ)P(i-1)
(1-ρ)Pi-(1-ρ)P(i-1)=ρP(i+1)-ρPi
(1-ρ)[Pi-P(i-1)]=ρ[P(i+1)-Pi]
[P(i+1)-Pi]/[Pi-P(i-1)]=(1-ρ)/ρ
P(i+1)-Pi为等比数列，公比是(1-ρ)/ρ，就这道题而言公比是4，第二问第一小问得证。
再看第二问的第二小问，这道题以上帝视角告诉我们，甲药管用的概率是0.5，乙药管用的概率是0.8，那么乙药比甲药管用；而双方从4：4的比分开始比赛是公平的，而在公平的比赛中，不如乙有效的甲获胜的概率只有1/257，因此这种赛制合理。
即便规则偏向于甲，比如甲带着5：3的比分开始比赛，甲获胜的概率（即P5）也只有341/21845（即4的5次幂-1为分子，4的8次幂-1为分母），约0.0156；即使甲带着7：1的比分开始比赛，甲获胜的概率（即P7）也只有5461/21845（即4的5次幂-1为分子，4的8次幂-1为分母），约0.2500，规则优势也很难救甲。
换一个角度想，如果上帝视角告诉我们甲、乙药效相同，则a=c，1-ρ=ρ=0.5，(1-ρ)/ρ=1，则[P(i+1)-Pi]/[Pi-P(i-1)]=1，P(i+1)-Pi=Pi-P(i-1)，Pi为等差数列，则P1=0.125，P3=0.375，P4=0.5，P5=0.625，P7=0.875，那么规则偏向于谁谁获胜的概率就大，偏向程度越高概率离50%越远，规则不偏不倚则双方获胜的概率相当。
这就是这种规则的合理性。

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