100个著名初等数学问题之阿基米德分牛问题
2007-02-20 21:10阅读：
第01题
阿基米德分牛问题
太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.
问这牛群是怎样组成的？
解：设公牛为1，母牛为2，白牛为A，黑牛为B，花牛为C，棕牛为D。
则，由题意可得：
A1-D1=(1/2+1/3)B1=5/6*B1
①
B1-D1=(1/4+1/5)C1=9/20*
C1 ②
C1-D1=(1/6+1/7)A1=13/42*A1
③
A2=(1/3+1/4)B=7/12(B1+B2)
④
B2=(1/4+1/5)C=9/20(C1+C2)
⑤
C2=(1/5+1/6)D=11/30(D1+D2)
⑥
D2=(1/6+1/7)A=13/42(A1+A2)
⑦
②-①，整理得：A1=11/6*B1-9/20*C1
⑧
③-①，整理得：55/42*A1=C1+5/6*B1
⑨
将⑧代入⑨，整理得：B1=801/790*C1 ⑩
将⑩代入⑧，整理得:
A1=1113/790*C1
①’
将⑩①’代入①，整理得：D1=445.5/790*C1
②’
将①’代入⑦，整理得：D2=14469/33180*C1+13/42*A2
③’
将②’
③’代入⑥，整理得：C2=6083/16590*C1+143/1260*A2
④’
将④’代入⑤，整理得：B2=68019/110600*C1+429/8400*A2
⑤’
将⑩⑤’代入④，整理得：A2=360318/367903*C1
⑥’
将⑥’代入⑤’，整理得：
B2=2446623/3679030*C1 ⑦’
将⑥’代入④’，整理得：C2=175791/367903*C1
⑧’
将⑥’代入③’，整理得：D2=5439213/7358060*C1
⑨’
综上所述：
A1=1113/790*C1
①’ B1=801/790*C1
⑩ D1=445.5/790*C1 ②’
A2=360318/367903*C1 ⑥’ B2=2446623/3679030*C1
⑦’
C2=175791/367903*C1 ⑧’ D2=5439213/7358060*C1
⑨’
因为，牛的个数必然是正整数，因而，C1必为7358060k（k是正整数）。
A1=10366482k
B1=7460514k C1=7358060k D1=4149387k
A2=7206360k
B2=4893246k C2=3515820k D2=5439213k
A=17572842k
B=12353760k C=10873880k D=5439213k
答：共有白牛17572842k只，其中公牛10366482k只，母牛7206360k只。共有黑牛12353760k只，其中公牛7460514k只，母牛48923246k只。共有花牛10873880k只，其中公牛7358060k只，母牛3512820k只。共有棕牛9588600k只，其中公牛4149387k只，母牛5439213k只。
