三大宇宙速度的推导
2007-04-26 09:55阅读：
一
前言
长久以来，人们一直渴望离开地球，去探索地球外面的空间。遗憾的是：由于无法克服地球的束缚，致使这一企盼一直未能实现。地球产生的引力，不仅抓住人类及地表一切物体不放，而且把厚厚的大气层牢牢地约束在自己周围，甚至还将３８．４万公里以外的月球也“拴”在身旁。
人类要飞向太空必须首先挣脱地球引力的“枷锁”，而战胜引力的诀窍是提高运动速度。英国科学家艾萨克·牛顿在《自然哲学的数学原理》中指出，让物体围绕地球旋转，利用旋转产生的离心力可以克服地球的引力。牛顿设想：在一座高山上架起大炮对着前方，以一定速度将炮弹平射出去，由于地球引力作用，炮弹将沿着一条抛物线运动，并在到达一定距离后降落到地面。如果加大炮弹速度，则其射程随之增加。当炮弹速度加到足够大的数值时，它就能克服地球引力而围绕地球作圆周运动；当炮弹速度大于此一数值时，就以发射位置为近地点绕地球作椭圆运动；当炮弹速度再增大时，它就脱离地球空间而到行星际空间漫游。这个摆脱地球引力束缚的力学原理，为人类漫游太空指出了正确方向。
从研究两个质点在万有引力作用下的运动规律出发，人们通常把航天器达到环绕地球、脱离地球和飞出太阳系所需要的最小速度，分别称为第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度。
二
推导
这三个宇宙速度的推导都涉及到万有引力公式。公式为:G*M*m/R*R,还有一个是圆周运动规律公式：ma=m*V*V/r,还需要有动能计算公式：Ek=（1/2）*m*V*V。需要利用的原理有匀速运动时受力平衡，以及机械能守衡定律。
（一）第一宇宙速度的推导
[i]
第一宇宙速度：在地面上发射一物体，能使该物体绕地球轨道运行所需的最小发射速度，或物体能绕地球运转的最小速率，由匀速运动时物体受力平衡可知，
m*V1*V1/R=G*M*m/R*R，由G*M*m/R*R=m*g,所以G*M=g*R*R,解V1=g*R的平方根，其中R为地球半径，g为重力加速度，用具体数值可解
得V1=7.9km/s。
（二）第二宇宙速度的推导
[ii]
在地面上发射一个航天器，使之能脱离地球的引力场所需要的最小发射速度，称为第二宇宙速度。一个航天器在它的燃料烧完后脱离地球的过程中，该系统符合机械能守恒的条件。由此即可推得第二宇宙速度v
2。
要计算第二宇宙速度，必须求出在地球引力场中，移动物体时克服引力所做的功。很显然，物体上升的越高，需要做的功也就越多。但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等，随着物体高度的增加，地球引力将逐渐减弱。当物体与地球的距离趋于无穷大时，地球对它的引力也就趋于零，这时物体就脱离了地球的引力场。因此，物体由地球表面上升到无限远处克服地球引力所做的功为一定值。这一数值可用下面的方法进行推算。
如图所示，设物体m从地球E的引力场中从
P0处移动到
Pn处。因各处的引力不等，我们可把
P0Pn的一段距离分成许多极小的等分Δx。
P0、
P1、
P2、……
Pn和地球中心的距离分别为
r0、
r1、
r2、……
rn；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等分时物体克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从
P0移动到
Pn克服地球引力所做的功。如果物体依靠消耗自身的动能来完成它所需做的功，那么它从
P0移动到
Pn克服地球引力所做的功，就等于它动能的减少。
根据万有引力定律，如果用
G表示万有引力恒量，M表示地球的质量。物体在
P0处所受的引力为
；物体在
P1处所受的引力为 。
因为
P0和
P1相距极近，物体在
P0、
P1间所受万有引力的平均值可以近似地等于两处引力的比例中项，即：
；
同理，物体在
P1、
P2间所受的平均引力为 ；
物体在
Pn-1、
Pn间所受的平均引力为
。
物体从
P0移动到
P1的过程中克服万有引力所做的功为：
W1
=（
P0、
P1间物体受到的平均引力）×（
P0、
P1间的距离）
即
；
物体从
P1移动到
P2时克服万有引力所做的功为： ；
同理，物体从
Pn
-1移动到
Pn时克服万有引力做的功为：
把以上各式相加，得到物体从
P0移动到
Pn整个过程中克服万有引力所做的功为：
W =
W1 +
W2
+ ……
Wn = 。
应该指出，物体从
P0处移动到
Pn处克服万有引力所做的功，在数值上就等于物体在
P0和
Pn两处物体与地球组成的系统的重力势能之差，它的值只与
P0和
Pn的位置有关，而与物体移动的路径无关。
如果物体在
P0处的速度为
v，它的动能就为
，物体之所以能克服万有引力做功，正是因为它具有这些动能。由机械能守恒定律可知，如果只考虑克服
地球引力做功，物体所具有的动能应满足下列条件： ，
即物体应具有的速度为： 。
在以上的推导过程中，我们没有考虑物体在运动过程中克服空气阻力做功，也没有考虑太阳及其它天体引力的影响。在实际情况下，要使物体从
P0移动到
Pn，所需的动能应更大些。
由以上推导得出的速度表达式可知，使物体从地球表面
r =
R处出发而脱离地球，即到达
rn =
∞处，物体所具有的速度即为第二宇宙速度，所以第二宇宙速度为：
。
（三）第三宇宙速度的推导
[iii]
所谓第三宇宙速度，就是从地球表面发射，并能够挣脱太阳引力的束缚，飞出太阳系时必须具有的速度。
我们计算一下，如果不考虑地球引力，从地球轨道的地方出发，要想飞出太阳系，需要具有多大的速度呢？假这个速度是V，那么可证明，它是地球公转速度的根号２倍（这道理就跟第二宇宙速度是第一宇宙速度的根号２倍一样），地球的公转速度是多少？大约为３０千米/秒，那么可以算出V大约为４２千米/秒。如果我们顺着地球公转的方向发射，由于本身就具有３０千米/秒的速度，那么只需要４２－３０＝１２千米/秒的速度就可以了。但是，还要考虑地球的引力，由于要求挣脱地球引力以后，还要具有１２千米/秒的速度，那么总共需要多大的速度呢？设这个速度（就是第三宇宙速度）为v3,第二宇宙速度那么v2，那么：1/2mv3^2－1/2mv2^2=1/2m(12)^2。解得：v3约为16.5千米/秒，考虑到木星等大行星的引力作用，实际上的第三宇宙速度约为16.7千米/秒。
三 后记
三大宇宙速度是天体物理学的重要内容，所谓“知其然且知其所以然”，掌握三大宇宙速度的推导对于我们了解天体物理及航天技术有重要作用，特别是在当前国家大力发展航天技术的形势下，更多地了解航天物理有利于提高我们的科学素养，也有利于我们更好地把握国家的航天发展大计。
[i]
http://www.jucuo.com/html/4/2007/0211/8280.html，《第一宇宙速度的推导》，最后浏览：2007-3-28
[ii]
http://www.lovingcastle.com/article/showarticle.asp?articleid=18，《第二宇宙速度的推导》，最后浏览：2007-3-28
[iii]
http://www.etec.edu.cn/portal/magazine/source/0629/html/zaixian/yuzhou_s3.htm，《第三宇宙速度的推导》，最后浏览：2007-3-28
