芝诺悖论的真的已经破解了吗？
2010-04-08 16:40阅读：
彭哲也（人在井天）
二分法悖论试图证明，时空如果是无限可分的，运动是不可能的。阿基里斯追龟悖论可以看成是二分法悖论的一个翻版。飞矢不动悖论试图证明，时空如果是有限可分的，运动是不可能的。
我们先来研究二分法悖论。二分法悖论假设时空是无限可分的，从这个前提出发，我们可以得到两个结论：一个结论是，物能走到终点。一个结论是，物不能走到终点。这两个结论自相矛盾，所以悖论就产生了。而我们的反驳者，往往不是从这两个自相矛盾的结论中去理解这个悖论之悖，而是简单地用前一个结论去否认后一个结论。所谓的已经破解，大都如此。
我们先来研究第一种情形，就是证明物能够到达终点。
这首先的一个证明就是无穷级数求和的证明：
在二分法中，设起点与终点总的距离是1，在我们这些不懂数学的人看来，物如果走过了无穷个中点，物所走过的总的距离是无限地接近于1，可是数学界的朋友告诉我，不是无限地接近于1，而是实实在在地等于1，那么，是我们是对的，还是数学界的朋友是对的呢？我们来分析一下：
物从起点到达第一个中点，所走过的距离是1/2，物从第一个中点走到第二个中点，所走过的距离是1/2^2,假设物走过了所有的中点，则物走过所有的中点的距离之和是：
S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+.........
能不能在起点与终点之间找到一个点，它不在起点与第一个中点之间（包含起点和第一个中点），也不在任何两个中点之间（包含中点），回答是不能。因而无穷级数的距离之和，就等于起点到终点总的距离之和。因而有：
S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+.........＝1
从上面的计算过程，我们可以看得出，假设起点到终点总的距离是1，则物走过无穷个中点的无穷级数之和是1，而不是无限接近1.但请注意，这里是假设物已经走过了所有的中点，如果没有这个前提，就无所谓无穷级数求和了。
虽则如此，我们至少可以证明一点，即物到达终点，与时空无限可分，二者之间并不矛盾。
再一个证明：
亚里士多德说：“关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；”
亚氏的这个观点是对的。我们可以把这个观点更进一步地阐述一下：
假设时空是无穷可分的。设物沿直线匀速从A点走到B点（研究匀速是为了使问题简明，非匀速在本质上是一样的），空间AB之间所有的点组成一个空间集合，而物走过空间AB段，必耗费相应的时间，我们可以把这个时间段称为时间从A点到B点，时间AB之间所有的点组成一个时间集合。根据集合论，我们可以把空间AB的集合中的所有的点和时间AB的集合中的所有的点组成一一对应的关系。这种一一对应的关系表明，任意一个空间点都有一个对应的时间点，物是依次一一地走过所有的空间点的。从这里我们也可以看出，时空的无穷可分与物到达终点，这二者之间并无矛盾。
以上的两个证明，依我看，都是建立在实无穷的思想之上的。
我们现在来研究第二种情形，就是证明物不能够到达终点。
二分法中，一方面，一个物体要从A点运动到B点，它必须首先到达A、B这段距离的中点C，而它要从C点到达B点，必须先到达C、B的中点D，如此可以无限地推算下去，物如果到达了B点，物必须依次一一地走过AB之间的这所有的中点，但最后一个中点是不存在的，所以物无法走过所有的中点。物无法到达终点。
另一个方面，物要从A点运动到B点，它必须首先到达A、B这段距离的中点C，而它要到达C点，必先到达A、C这段距离的中点D，如此可以无限地推算下去，物如果到达了B点，物必须依次一一地走过AB之间的这所有的中点，但第一个中点是不存在的，所以物无法离开起点。
数学上有所谓实无穷与潜无穷之争，虽则无论是实无穷思想还是潜无穷思想，都不承认最后一个中点。但是，按照实无穷的思想，我们仍是有办法证明（前面已经证明了），即便没有最后一个中点，物也是可以到达终点的，虽则这个证明过程本身仍有存疑（后面会继续说到）。但按照潜无穷的思想，这个没有最后的中点的问题，则就是直接地见血封喉了。
也就是说，按照实无穷的思想，物到达了终点，而按照潜无穷的思想，物不能到达终点，无穷究竟是实无穷还是潜无穷？据说数学上的这个实无穷潜无穷之争，至今仍不能尘埃落定，因而芝诺悖论至今不能盖棺论定。
芝诺悖论还隐含着一个逻辑：物不但在空间上不能位移，物在时间上也是不能位移的，也就是说，时间不是流逝的，而是不动的。
物要从时间A点到达时间B点，它必须首先到A、B这段距离的中点C，而它要从C点到达B点，必须先到C、B的中点D，如此可以无限地推算下去，物如果到达了B点，物必须依次一一地走过AB之间的这所有的中点，但最后一个中点是不存在的，所以物无法走过所有的中点。物无法到达时间终点。这样，物在空间中的位移与在时间中的位移就完全地一样了。而很大一部分的人在反驳这个悖论的时候，想当然地认为时间一定是流逝的，从而得到悖论已经破解的错误结论。
下面我们在实无穷的范围内更深入地研究一下这个问题。
因为空间是无限可分的，所以一个方面，任意两个空间点之间都必然地会要存在着无限多个空间点，另一个方面，任意两个空间点都是不相邻的。同样的，因为时间是无限可分的，所以一个方面，任意两个时间点之间都必然地会要存在着无限多个时间点，另一个方面，任意两个时间点都是不相邻的。
在数学上有一个实数连续统的假说，对于这个实数连续统的假说，我所查到的通俗的解释是：任意两个实数之间必有无穷个实数，任何两个实数都不是相邻的。
如果这就是实数的连续统假说的话，这个连续统假说与我所说的时空的无限可分性，二者是一致的。
假设时空是无穷可分的。因为任意两个空间点之间都存在着无限个点，这就意味着，物如果不能走过无穷个点，物就不能走过任意一个点，而物如果不能走过任意一个点，物就不能走过无穷个点。可以打一个比喻：我现在规定，你如果不能吃完五碗饭，你就不能吃完一碗饭，你如果不能吃完一碗饭，你就不能吃完五碗饭。对于这五碗饭你将如何吃？你只有同时吃完这五碗饭，除此之外，别无它法。因而，物如果能够运动，物就必须同时走过无穷个点。
假设时空是无穷可分的。对于一个有限的空间段（直线段）内的任意两个点，都是有着严格的前与后的区分的，也就是说，存在着严格的排序性。这个排序性表明，物如果从起点走到了终点，物是依次一一地走过这个空间段中所有的点的。
这样我们看到，如果假设时空是无穷可分的，我们从这个前提出发，得到了完全相反的两个结论：一个结论是，物必须同时走过无穷个点，一个结论是，决不存在物同时走过无穷个点的情形。
不但物在空间中的位移有如上的情形，物在时间中的位移也有如上的情形。从时间无限可分的前提出发，我们可以得到两个相反对的结论：一个结论是，物是一一地依次地经历所有的时间点的，决不存在一次经历无穷个时间点的情形。另一个结论则是，物如果经历了一个时间点，物也就必经历了无穷个时间点，物只有一次经历无穷个时间点，物才能在时间中位移。
最有名的无限机器是抛球机器，它是这样设计的：一小球从ａ处开始向ｂ处抛动，令小球从ａ处抛到ｂ处时花二分之一分钟，从ｂ抛回ａ处花四分之一分钟，依此类推，来回抛球时间依次是：
1/2^1 , 1/2^2 , 1/2^3 , ........... , 1/2^n,................
抛球的次数为：
1，2，3，....................n,.........................
很显然的，这个抛球的次数所组成的集合是一个无限集合，实际上是一个自然数集合，这个集合具有可数性，无限性，没有最后一项。
如果时间能够达到一分钟，则球肯定会停下来的，但球将停在a点还是b点，却是不可以预先确定的。有些人据此即认为无限抛球机器无解，则是错误的。这种见解其实是形而上学的，这里预先假设了，球如果会停下来的话，那么，它必须是停在这个点上，而不能停在那个点上。这种观点不知道世界上还有不确定性这回子事。
如果球最后停了下来，那么就必会有最后一次抛球，如果有最后一次抛球，则抛球的次数所组成的集合是一个有限集合，而不是一个无限集合。
据此可以断定，在时间无限可分的范围内，这个问题无解。并且这个问题，不涉及实无穷与潜无穷的问题。也就是说，无论是按照实无穷思想还是按照潜无穷思想，这个问题都是无解的。
无限机器问题，其实是反证了二分法悖论无解，它让矛盾更为尖锐地显现了出来。它让实无穷思想在最后一个中点问题上无所遁形。
对于无限抛球机器问题，反驳者可以说：这只是一个理想实验，不足为据。所以就深刻性而言，无限抛球机器问题不如二分法悖论。
下面我们来研究一下飞矢不动悖论。真理总是用最简明的语言讲述问题，二分法和阿斯里斯追龟这两个悖论是达到了用最简明的语言讲述最深刻的道理之境界的了。它所讲述的道理，只要是听过的人都能懂的。但是，飞矢不动则还没有达到这种境界。
我们假设一个时间段是绝对不可分的，因为这个时间段不可分，所以物在这个时间段内是静止的，如果是运动的，这个时间段就是可分的。因为这个时间段绝对不可分，所以物在这个时间段内是绝对静止的。但我们知道，从绝对的静止中是不能够产生出运动来的。因而物的运动是不可能的。
同理，我们假设一个空间段是绝对不可分的，因为这个空间段不可分，所以处在这个空间段内的物是静止的，如果物在这个空间段是运动的，这个空间段就是可分的。因为这个空间段绝对不可分，所以物在这个空间段内是绝对静止的。但是我们知道，从绝对的静止中是不能够产生出运动来的。因而物的运动是不可能的。
在每一个不能再分的时间段物是静止的，这样，物在所有的时间内都应该是静止的。有人对此会提出反对的意见：在这个不能再分的时间段，物处在这个位置上，并且是静止的，而在下一个不能再分的时间段，物处在另一个位置上，并且也是静止的。这样，虽则每一个不能再分的时间段是静止的，但物在整体上却是运动的。这种观点必然地会要得到，物是从这个位置跳到另一个位置上，而这个跳动本身则是不需要时间的。因而运动是在时间之外，而不是在时间之内。但这可能吗？
时空究竟是无限可分的还是有限可分的？
无论时空是无限可分的还是有限可分的观点，都是承认了时空是可分的。如果时间是可分的，那么，运动应该是存在的。既然运动不存在，那么，时间应该是不可分的。于是芝诺的老师巴门尼德可以理直气壮地说：世界是一而不是多。
时空究竟是可分的还是不可分的？世界是一还是多？
时空是无穷可分的，物的运动不可能，而时空是有限可分的，物的运动仍是不可能。这样我们就走进了死胡同。
山穷水复疑无路，柳暗花明又一村。这个又一村在哪里呢？按照芝诺的观点，时空或者是有限可分的，或者是无限可分的，如果时空是有限可分与无限可分的统一呢？如果是，这二者具体地又是如何统一的呢？按照芝诺的观点，时空或者是可分的，或者是不可分的，但是，有不有可能时空是可分与不可分的统一呢？如果是，这二者又是如何具体地统一的呢？数学上的实无穷与潜无穷之争，如果实无穷与潜无穷是统一的呢？如果是，这二者又是如何具体地统一的呢？
芝诺悖论的问题，在本质上一个时空在微观层面的结构问题，而对于时空在微观层面的结构问题，属于量子力学研究的范围，所以从量子力学中去寻找答案，才是正道。但量子力学到现在为止，真的已经完全地解决掉这个悖论了吗？
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