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B、A、A'的内、外极割线与太极图及垂线的交点如图所示：
証明：在太极图中,
故上述关系得証。
由此可得到如下形式的定理：
⑴
⑵
⑶
以上互为倒数关系的性质具有无穷对应性。任一内、外极割线均可绕其极点无穷旋转,我们可依据上述倒数性质去求任一先倒象图的其余十五个倒象图．至此,前面说的太极坐标系或曰三极坐标系,现在让人们看来不仅是天然自在的而且是十分贴切的．尤其是后面要介绍的“卡西尼‘四象倒’法”可以清楚地証实这一点；同时,我们坚信不移,在太极图中任一变化问题只须要已知一数(或象)依据相关的性质即可求其无穷变化来．
而且,还易証明图中的线段存在下述关系式：
倒数线分有极切倒、子午倒、极异倒、定比倒四类,每类求倒问题均为双意倒,可计之为八倒．
在图11—5中,若已知A
(5)
显然,图中若有
任一已知倒数线对应各倒数线倒象无穷,太极八卦的倒数线性质是空间形式的无穷化性质之一．我们已经看到“外三环,内三弦,勾股弦三弦上的变化是无穷化变化”,这些变化与倒数线的无穷化结合起来,就有无穷之无穷的变化．太极八卦可以将人们带到奥妙无穷的
这里,先以勾股幂和线为例,进一步研究倒数线的作用和意义．图11—6所示曲线为勾股幂和线．图中
Ci是内极圆
在图11—6中，
⑴
⑵
⑶
此类异形线由于幂指数的变化无穷,曲线就无穷地显形在世人的面前。
图11—7所示曲线称为卡西尼卵形线,其方程为
曲线是使MF1·
图11—8所示的异形线称为太极八卦图中的卡西尼卵形线,这种尺规旋转描点作图法却鲜为人知,且其数学思想与哲理观点崭新，太极八卦数学科学具有鲜明的象理性,即直观性,这是天然的设计，可称之为太极四象倒数线(象)法．具体作图方法如下：
依据太极八卦的无穷互到性质，我们对平行于太极图极心线O1O2
极易倒象图
我们对这类异形线可求其极切倒倒象图,图11—9中先倒图为勾股四次幂和线APiCA'D,点Pi是该异形线上的任一点,点Ci是⊙0上与之对应的动点．它们满足下列关系式：
BPi=
太极图的外极切线l1、
这里的四象即为四种图象：异线
异形线APiC和APi3
容易看到,任一勾股幂和线及其倒象图都是尺规异线问题,其存在形式是无穷变化的,均为太极八卦问题．可以断言,太极八卦科学是宇宙科学的核心问题．
人人都可以研究掌握太极八卦数学科学的性质规律与尺规异形线的作图法,无数的尺规异形线将进一步展示太极八卦的无穷魅力,深刻地揭示出宇宙自在物的变化与太极图的变化间的一一对应规律．
图11—10所示异形线为三倍角线及其倒象图,图中只绘出二象互倒图,具体作法略．
图11—11所示异形线为勾股和幂线及其倒象线,这里幂指数等于1,图中只绘出了三象：极圆内的异线为皮利福姆(pirlforme)曲线,极圆外一象为摆线,另一象其形似鸟翼,可称之为鸟翼线．
“倍积问题”的研究揭示了“倒数线”的存在意义,事实上倒数线的性质是太极八卦图中“太极”与“八卦”相互关系的一个极为重要的性质．可以说，没有“倍积线”自在形式的发现，“太极八卦”极切线的自在科学意义是很难从正面认识的,对它所展现的宇宙自在形式的无穷化也就根本无从谈起．人们把“倍积”神化,尊称为“蒂里亚神”问题,的确不错，“倍积”通‘神’也，“太极八卦”神通广大也．
倍积线、太极线、倒数线、极切线是天然自在同意线,乃双意线、科学结合线．是古今、中外,社会与自然,太极八卦与歐几里德几何的天然的科学结合．我们用“三原始”的方式，顺宇宙物自在形式之理，成宇宙科学之章．在上世纪九十年代初我们就预感和认识到这个问题,有诗《赞天然的科学结合》为証(见本文开篇)。
我们清楚地看到,三分角定理的完整出现,“3”环圆(还原)的显现,分倍角问题及倍积问题的本质再现,它们都说明了什么?难道说“3”环圆是人为的产物吗?难道说“三大问题”不是太极八卦的核心问题吗?难道著名的“蒂里亚神”问题不是太极八卦问题吗?难道说倍积图、倒数线不是太极八卦图吗?
显然,把个人与天然的科学用等号连接起来是可笑的方程式．以人代科学的“偶象”时代已经一去不复返了．我们心目中可以有这样一个完整的偶像：一个与人生共生的偶像，那就是自然规律．对于驾驭自然规律的个人来说,她在世人的心目中只能是驾驭自然规律的那一幅(时代)偶像,这幅偶像毫无疑义的与生命伴生．其余“图像”无论怎样高大清晰，在人们心目中似乎至多只是一个模糊的小黑点，以至于毫无踪迹．
在三十五年的潜心研究中,我们有缘顿悟、认识太极八卦图,太极八卦图暴露了许多“双意”概念与性质,《太极八卦双宝同心解圆学》是一门新兴科学,“解圆”宣告：人类对于宇宙物将“想得到,看得见,算得出；想不到,看得见,算得出；见者可算,算者可见”．《咏双意》诗也道出了“太极八卦科学”的广阔前景,也是我们致力于研究太极八卦问题的心愿．请看:
自然辩証法是宇宙自在物的同一性方法论,自然辩証法是宇宙及其自在物的灵魂,是宇宙科学的精髓,是验证理论真理性的试金石．《太极八卦双宝同心解圆学》的基本思想是自然辩証法,基本形式是太极形式,基本原理是歐氏原理,基本作图是尺规异形线,基本作图法是线段的九种(和差积商幂方根等分定比分及倒数线法)尺规法（这在前面已经提到过）．
宇宙间的一切变化与太极八卦问题一一对应,无穷无尽的变化对应着无穷化的自在形式
証明：在太极图中,
故上述关系得証。
由此可得到如下形式的定理：
⑴
⑵
⑶
以上互为倒数关系的性质具有无穷对应性。任一内、外极割线均可绕其极点无穷旋转,我们可依据上述倒数性质去求任一先倒象图的其余十五个倒象图．至此,前面说的太极坐标系或曰三极坐标系,现在让人们看来不仅是天然自在的而且是十分贴切的．尤其是后面要介绍的“卡西尼‘四象倒’法”可以清楚地証实这一点；同时,我们坚信不移,在太极图中任一变化问题只须要已知一数(或象)依据相关的性质即可求其无穷变化来．
而且,还易証明图中的线段存在下述关系式：
倒数线分有极切倒、子午倒、极异倒、定比倒四类,每类求倒问题均为双意倒,可计之为八倒．
在图11—5中,若已知A
(5)
显然,图中若有
任一已知倒数线对应各倒数线倒象无穷,太极八卦的倒数线性质是空间形式的无穷化性质之一．我们已经看到“外三环,内三弦,勾股弦三弦上的变化是无穷化变化”,这些变化与倒数线的无穷化结合起来,就有无穷之无穷的变化．太极八卦可以将人们带到奥妙无穷的
这里,先以勾股幂和线为例,进一步研究倒数线的作用和意义．图11—6所示曲线为勾股幂和线．图中
Ci是内极圆
在图11—6中，
⑴
⑵
⑶
此类异形线由于幂指数的变化无穷,曲线就无穷地显形在世人的面前。
图11—7所示曲线称为卡西尼卵形线,其方程为
曲线是使MF1·
图11—8所示的异形线称为太极八卦图中的卡西尼卵形线,这种尺规旋转描点作图法却鲜为人知,且其数学思想与哲理观点崭新，太极八卦数学科学具有鲜明的象理性,即直观性,这是天然的设计，可称之为太极四象倒数线(象)法．具体作图方法如下：
依据太极八卦的无穷互到性质，我们对平行于太极图极心线O1O2
极易倒象图
我们对这类异形线可求其极切倒倒象图,图11—9中先倒图为勾股四次幂和线APiCA'D,点Pi是该异形线上的任一点,点Ci是⊙0上与之对应的动点．它们满足下列关系式：
BPi=
太极图的外极切线l1、
这里的四象即为四种图象：异线
异形线APiC和APi3
容易看到,任一勾股幂和线及其倒象图都是尺规异线问题,其存在形式是无穷变化的,均为太极八卦问题．可以断言,太极八卦科学是宇宙科学的核心问题．
人人都可以研究掌握太极八卦数学科学的性质规律与尺规异形线的作图法,无数的尺规异形线将进一步展示太极八卦的无穷魅力,深刻地揭示出宇宙自在物的变化与太极图的变化间的一一对应规律．
图11—10所示异形线为三倍角线及其倒象图,图中只绘出二象互倒图,具体作法略．
图11—11所示异形线为勾股和幂线及其倒象线,这里幂指数等于1,图中只绘出了三象：极圆内的异线为皮利福姆(pirlforme)曲线,极圆外一象为摆线,另一象其形似鸟翼,可称之为鸟翼线．
“倍积问题”的研究揭示了“倒数线”的存在意义,事实上倒数线的性质是太极八卦图中“太极”与“八卦”相互关系的一个极为重要的性质．可以说，没有“倍积线”自在形式的发现，“太极八卦”极切线的自在科学意义是很难从正面认识的,对它所展现的宇宙自在形式的无穷化也就根本无从谈起．人们把“倍积”神化,尊称为“蒂里亚神”问题,的确不错，“倍积”通‘神’也，“太极八卦”神通广大也．
倍积线、太极线、倒数线、极切线是天然自在同意线,乃双意线、科学结合线．是古今、中外,社会与自然,太极八卦与歐几里德几何的天然的科学结合．我们用“三原始”的方式，顺宇宙物自在形式之理，成宇宙科学之章．在上世纪九十年代初我们就预感和认识到这个问题,有诗《赞天然的科学结合》为証(见本文开篇)。
我们清楚地看到,三分角定理的完整出现,“3”环圆(还原)的显现,分倍角问题及倍积问题的本质再现,它们都说明了什么?难道说“3”环圆是人为的产物吗?难道说“三大问题”不是太极八卦的核心问题吗?难道著名的“蒂里亚神”问题不是太极八卦问题吗?难道说倍积图、倒数线不是太极八卦图吗?
显然,把个人与天然的科学用等号连接起来是可笑的方程式．以人代科学的“偶象”时代已经一去不复返了．我们心目中可以有这样一个完整的偶像：一个与人生共生的偶像，那就是自然规律．对于驾驭自然规律的个人来说,她在世人的心目中只能是驾驭自然规律的那一幅(时代)偶像,这幅偶像毫无疑义的与生命伴生．其余“图像”无论怎样高大清晰，在人们心目中似乎至多只是一个模糊的小黑点，以至于毫无踪迹．
在三十五年的潜心研究中,我们有缘顿悟、认识太极八卦图,太极八卦图暴露了许多“双意”概念与性质,《太极八卦双宝同心解圆学》是一门新兴科学,“解圆”宣告：人类对于宇宙物将“想得到,看得见,算得出；想不到,看得见,算得出；见者可算,算者可见”．《咏双意》诗也道出了“太极八卦科学”的广阔前景,也是我们致力于研究太极八卦问题的心愿．请看:
自然辩証法是宇宙自在物的同一性方法论,自然辩証法是宇宙及其自在物的灵魂,是宇宙科学的精髓,是验证理论真理性的试金石．《太极八卦双宝同心解圆学》的基本思想是自然辩証法,基本形式是太极形式,基本原理是歐氏原理,基本作图是尺规异形线,基本作图法是线段的九种(和差积商幂方根等分定比分及倒数线法)尺规法（这在前面已经提到过）．
宇宙间的一切变化与太极八卦问题一一对应,无穷无尽的变化对应着无穷化的自在形式