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给“垂径定理”一个简单几何模型

2006-10-10 23:31阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1258343904

给“垂径定理”一个简单几何模型
湖北省沙洋监狱管理局第一中学 周荣华
“垂径定理”是初中几何中很重要的定理之一。其叙述形式的多样性、解题应用的广泛性，以及在教材中的重要地位犹为突出。从定理本身教学而言，不存在什么困难。但在解题应用的过程中，往往出现思路不畅通的感觉；有的甚至在问题求解之余心存疑惑，其正确与否还要经过三思。此类情况的出现，难免影响解题的质量和数量。为了解决这一实际问题，笔者在“垂径定理”的教学过程中，力求对“垂径定理”进行直观的几何解释。从而架起了定理基本的几何模型的桥梁。
现行初中教材中对“垂径定理”是这样叙述为：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。”在运用圆的对称性证明定理之后，随之而来地要对该定理作进一步的理解，不难发现，与该定理相匹配的还有九种不同形式的正确命题。若要将其一一准确地叙述出来，显然没有这个必要。不过，只了解定理的局部，是教学过程中的一个遗憾。而消除这一遗憾的途径则应解剖知识点、深化教学内容。
剖析一、先看定理的条件：“垂直于弦的直径”。条件虽说显得很简洁，但给我们传递的信息是丰富的。其中既有“弦”，又有“直径”，还有“弦与直径的位置关系”。并且，这里的“弦”是“非直径的弦”。这样，我们就从条件中得到了该定理的一个清晰的表象特征，即与“弦”有关的“直径”（或与“直径”有关的“弦”）的问题。其次，由于“经过圆心的弦是直径”。也就是说“圆心”一定在“直径”上！又由于“弦与直径垂直”，可知其垂足既在“弦”上，又在“直径”上！这样，我们又从定理的条件部分得到了所需的内在的、实质性的特征。这就是符合条件的直径上内含着两个特殊的点：“圆心”和“弦与直径互相垂直的垂足”！
剖析二、再看定理的结论部分：“直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。”结论似乎有点多，但从整体上看，它体现了两个方面的具体内容：一是“直径”平分这条“弦”，即“直径”一定过“弦的中点”；二是“直径”平分“弦”所对的两条弧，由于
这里的“弦”是小于“直径”的“弦”，所以其“弦”所对的弧应有优弧与劣弧之分。那么，平分“弦”所对的两条弧的“直径”，也一定是以弦所对的两弧的中点为端点的直径。由此，符合条件的“直径”上又聚集了三个特殊的点：“弦的中点”、“优弧和劣弧的中点”！
综上所述，符合条件的直径上存在着“五个特殊的点”：①弦的中点；②直径与弦垂直的垂足；③圆心；④弦所对的优弧的中点；⑤弦所对的劣弧的中点（后面关于诸点序号的叙述均以此处编号为依据）。这样，“垂径定理”就蕴含着五点共线问题。这一特征的突现，显然为简化该定理提供了关键性的契机。我们知道：“两点确定一条直线”。当然这里的两点是指不重合的两点。而我们所得到的“五点”中有两点是重合的。这是否会影响对该定理的简化呢？又因为：“在平面内，过线段的中点垂直于该线段的直线有且只有一条。”这就决定了我们的想法的可行性。由此，定理就可简化为由“五点中的任意两点”来推导“其余三点”的形式了，即只要具备五点中的任意两点的条件，就一定具备其余三点的特征。如“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。”可简化为：


定理的其它九种形式也可分别简化表示为：
狄德罗说过：“所谓美的解答，是指对一个困难复杂问题的简易回答。”在几何学中，点是最基本的几何元素，而共线点又是最简单的几何模型。引导学生用共线点的特征来刻划“垂径定理”，不仅对该定理进行透彻地理解，而且能切实地掌握定理、灵活而迅速地应用其解决问题，深化对数形结合的认识领域，从而培养学生更广泛地应用数形结合解决具体问题的意识，不断提高应用数学知识的综合能力。

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