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线性微分方程解的结构

2007-08-22 13:44阅读：

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线性微分方程解的结构
　
我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。
二阶线性方程的一般形式为
线性微分方程解的结构
其中y',y',y都是一次的，否则称为二阶非线性方程。
线性齐次方程解的结构
二阶线性齐次方程的形式为：
线性微分方程解的结构
定理：如果函数线性微分方程解的结构
均是方程线性微分方程解的结构的解，那末线性微分方程解的结构也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数。
线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。
问题：我们所求得的解线性微分方程解的结构是不是方程的线性微分方程解的结构通解呢？
一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念：线性相关与线性独立。
定义：设线性微分方程解的结构是定义在区间I的两个函数，如果线性微分方程解的结构，那末称此两函数在区间I线性相关，否则，即线性微分方程解的结构之比不恒等于一个常数，那末称此两函数线性独立或线性无关。
为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理。
定理：如果线性微分方程解的结构是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末线性微分方程解的结构就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。
线性非齐次方程解的结构
二阶线性非齐次方程的形式为：
线性微分方程解的结构
对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？
答案是肯定的。为此我们有下面的定理。
定理：设y是二阶线性非齐次方程线性微分方程解的结构的任一特解，Y是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程线性微分方程解的结构的通解。
我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下：
定理：设有线性非齐次方程线性微分方程解的结构.如果线性微分方程解的结构分别是方程
线性微分方程解的结构与方程线性微分方程解的结构
的解，那末线性微分方程解的结构就是原方程的解。

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