用割尾法判定百以内的质数的整除性
2012-03-27 10:20阅读：
湖北省团风县上巴河镇中心学校
陈文胜
关键词：割尾法 尾数 质数 判定 整除 造“
1”法
应用
我们已经知道，一个正整数能否被2、3、5、7、11、13整除，有如下的判断方法：能被2、5整除的数的特征是末尾数能被2、5整除，能被3整除的数的特征是各位数字之和能被3整除；能被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位数之和的差能被11整除；我们还知道，一个数如果末三位数与前面的数的差的绝对值能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
这些数的整除性的判定方法，为我们判定百以内的质数的整除性提供了方法和依据。下面我们来研究百以内质数的整除性。
我们把百以内的质数分为三类：
（1）2、5
（2）尾数是1的质数：11、31、41、61、71
（3）尾数不是1的质数：3、7、13、17、19、23、29、37、43、47、53、59、67、73、79、83、89、97
对于（1）类得质数的整除性不适于也不需要我们用我们研究的质数的整除性的判定方法进行判定。
一、质数判定方法的探求与验证
1、 第（2）类质数：尾数是1的质数
我们知道任意一个大于10的自然数可以用公式N=10X+Y（X≥1,0≤Y＜10的自然数）来表示,为了叙述的方便，我们把Y叫做尾数，即个位数，把X叫做割尾数。
首先看31这个质数的一些倍数：
31、62、93、124、155、186、217、248、279、310、341、372、403、434、465、496、527、558…….
从上面的一些数字来看，割尾数与尾数的3倍之差能被31整除，反过来说，割尾数与尾数的3倍之差能被31整除，那么这个数就能被31整除，我们把这种判定方法叫割尾法判定质数的整除性。
为了判定这个规律成了与否？我们设数Ｎ的尾数为Ｙ，割尾数为Ｘ，则Ｎ=10X+Y（X≥1,0≤Y＜10的自然数），割尾数与尾数的３倍之差为Ｘ－３Ｙ，如果３１∣Ｘ－３Ｙ，则３１∣Ｎ。
因：３１∣Ｘ－３Ｙ，则Ｘ＝３１Ｋ＋３Ｙ（Ｋ为自然数）
Ｎ=10X+Y
＝１０（３１Ｋ＋３Ｙ）＋Ｙ
＝１０×３１Ｋ＋１０×３Ｙ＋Ｙ
＝３１×１０Ｋ＋３１Ｙ
＝３１×（１０Ｋ＋１）
由此可知：３１∣Ｎ成立。
这就是说，能被３１整除的数的特征是割尾数与尾数的３倍之差能被３１整除。
我们可以反复利用这一特征来判定任意自然数能否被３１整除。例如；４５８３９７能否被３１整除。
第一次：４５８３９－２１＝４５８１８（不易判定）
第二次：４５８１－２４＝４５５７ （继续）
第三次：４５５－２１＝４３４
第四次：４３－１２＝３１（能被３１整除）
故３１∣４５８３９７
现在我们来研究其他尾数是１的质数的整除性。设Ｎ=10X+Y（X≥1,0≤Y＜10的自然数），如果１０a+1∣X－aY,则10a+1∣Ｎ
因１０a+1∣X－aY，则Ｘ＝（１０a+1）Ｋ＋ａY
（K为自然数）
于是N=10X+Y
=10×[（１０a+1）Ｋ＋ａY]+
Y
=10K.（１０a+1）+10aY+Ｙ
＝１０K（１０a
