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从零推导流体N-S方程

2020-08-22 10:45阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1273956167

温馨提示：本篇文章需要牛顿力学、弹性力学、微积分、场论等基础
首先在这里向大家解释一下，以后的一段时间可能教学任务比较繁重，一天中没有多少可自由支配的时间，所以公众号文章更新速度会慢些，还望见谅。
关于流体力学理论的学习在很多年前就有不少学员向我反应，希望能多少了解一些，但我一直不知如何去写，主要是因为流体力学所涉及的知识点比较多，而且每个知识点也有一定难度，所以即使再高超的讲解技巧也不可能让每个人都明白，甚至可能只是极少数人能够理解，即使对软件开发人员来说也主要关注其数值解法上，因此如果本篇文章实在看不懂也没关系，它对特效师来说仅仅是锦上添花的内容，不会对你的工资有什么影响。
关于流体理论方面的资料其实很多，但都有个共同问题，就是跳跃性大，准确来说这些不是什么问题，因为绝大部分论文、技术博客、书籍等都是准备给专业人士看的，根本不是面相初学者，所以初学者一上来就接触这些具有专业技术性的文章时往往看的一头雾水、云里雾里，这很正常，其原因是初学者的知识储备是有很多断档的，知识结构比较碎片化，论文虽好但看不懂，这也是情理之中的事。介于此，我会将流体公式每一步推导过程尽可能的写详细，但还是要明白，这些仍然需要大家具备牛顿力学、弹性理论、微积分的基础才能看下来的，这是绕不过去的坎儿。就好比你给别人讲勾股定理，但人家连什么是三角形都不知道，所以讲的再好，如果知识断档也是无济于事的。本篇文章的起点虽高，但文中任何一步的推导其实都是最基本的数学和物理知识，并没有什么高深的内容。
流体力学在cg、游戏、工程、生活等诸多方面都有着广泛的应用，应用软件也是层出不穷，对于流体力学基本方程早在几百年前就已被建立，而如今只是对其的完善以及解法的研究。流体可分为拉格朗日流体与欧拉流体，拉格朗日流体所考
察的流体微团会随着流动而改变位置，例如我们熟悉的sph流体，即光滑粒子流体动力学。欧拉流体中所考察的流体微团位置是固定不变的，不会随着流动而改变，例如我们更为熟悉的流体框中的流体。拉格朗日流体模拟巨量流体是比较慢的，所以在游戏中应用较多，在影视特效领域用的最多的当属欧拉流体，本文将对其进行推导。
因为流体推导中涉及大量的数学符号表示，而公众号对于公式的编辑是相当的差劲，而且从word等软件中拷贝过来会出现乱码，实在没更好的办法，对于N-S方程的推导还是用的手写，字迹潦草，大家将就下吧。
对液体和气体运动的研究就是流体动力学的内容，为了进行定量研究，我们通常取一个流体微元进行研究，流体微元也可称为流体微团或流体点，但应该注意，这个微元应该从物理角度去解释，而非数学角度。也就是说，这个流体微元并非无穷小，它还是有一定的体积的，包含了很多的水分子，所谓很小只是跟整个流体去比。在我们取出一个流体微元后，就可以用数学分析的方法去描述流体的运动状态，所求的物理量都是空间坐标x,y,z和时间t的函数。对于N-S方程，去掉黏性项，就退化为欧拉方程，所以先从简单的欧拉方程推导，再添加黏性项，最后再推导不可压缩流体的条件，推导如下：
从零推导流体N-S方程
从零推导流体N-S方程
从零推导流体N-S方程
从零推导流体N-S方程
从零推导流体N-S方程
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