诺特定理，不变性（对称性）对应着守恒量
2013-05-14 10:06阅读：
诺特定理
维基百科，自由的百科全书
（重定向自諾特定理）
诺特定理是理论物理的中心结果之一，它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。例如，物理定律不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。如果我们想象一下，譬如重力的强度每天都有所改变，我们就会违反能量守恒定律，因为我们可以在重力弱的那天把重物举起，然后在重力强的时候放下来，这样就得到了比我们开始输入的能量更多的能量。
诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立。它得名于20世纪初的数学家埃米·诺特。诺特定理和量子力学深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量（譬如位置和动量）.
定理的数学表述 不严格地讲，诺特定理可以如下表述（忽略技术细节）：
对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。
解释
上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。
定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷，而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无散度向量场。
应用
诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如：
对于物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量的守恒律；
对于转动的不变性给出了角动量的守恒律；
对于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。
在量子场论中，和诺特定理相似，沃德－高桥恒等式（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。
诺特荷也被用于计算静态黑洞的熵1。
定律的发现
是一位德国女数学家艾米·诺特（Emmy
Noether,1882-1935）在1918年首先发现的，物理定律对称性与物理量守恒定律的对应关系，因此被称为“诺特定理”（Noether's
theorem:
To every differentiable symmetry generated by local actions,there
corresponds a conserved current）。
以下给出他的产生的一些历史背景以及关于他的物理学探讨。之所以引用此文，是因为我觉得这篇文章把很深奥的科学说得很美化并让人通俗易懂。
对着镜子瞧瞧自己，假如你举起右手，你在镜子里的影像却举起了它的左手，你一定会目瞪口呆，甚至有一种毛骨悚然的感觉！幸运的是，世界上还没有人遇到过这种事。不过这么奇怪的事真的在粒子世界里出现了，具体的说，是在一个基本粒子身上出现了。
这个镜像不对称的问题，可不是一个简单的问题，它是20世纪物理学研究的一个重大课题。
编辑本段
对称总是完美的
你照着镜子，你与镜子里的影像形成了一种对称关系。对称，不仅是在镜子里出现，在我们身边的大自然里，也随处可见。蜂巢是由一个个正六边形对称排列组合而成的建筑物，每个正六边形大小统一、上下左右距离相等，这种结构最紧密有序，也最节省材料；蝴蝶左右翅膀的结构是对称的，就连翅膀上的图案与颜色也是对称的，因此它能够成为自然界最美丽的昆虫；所有的海螺都拥有奇妙的左右旋对称；人本身也是对称的，而且不止左右结构对称，双眼、双耳和左右脑的形状也是对称的，设想一个人少一只眼、或嘴歪在一边，那一定被认为不是很美的。
人类自古以来就对对称美推崇备至，对称的概念几乎已经渗透到所有的学科领域。建筑学中，建筑家们在规划、设计和建造形形色色的建筑时，总是离不开对称，那些流传千古的著名建筑物也大多是极具对称美的，比如中国的故宫、天坛、颐和园的长廊，埃及的大金字塔，罗马的角斗场。几何学中，有圆、椭圆、正方形、矩形、梯形、三角形、圆锥、圆柱等各种对称。代数中，有一元二次方程两个根的对称、方程的对称函数，甚至还有专门关于对称性的数学理论——群论。
在晶体学中，对称性表现得尤为突出。其实，自然界中百分之百完全对称的东西极少，但晶体是个例外，无论从宏观还是微观来看，晶体都是严格对称的。晶体中的原子数目很大而且有严格的空间排列，如果任意画出一部分原子排列图，无论对此图进行平移、旋转还是左右互换，所得的图像与原图像都无法区分，也就是说，大部分晶体都具有平移对称、旋转对称、镜像对称的性质。比如，雪花具有六重旋转对称，就是说，雪花晶体在沿一根固定的轴旋转60度、120度、180度、240度、300度或360度后，其原子的空间排布都与原来的排布完全相同。
编辑本段
物理学中的对称
实际上，在物理学中，对称的概念绝对不只是“左右相同”，它比我们通常所理解的含义要广泛得多，几乎适用于一切自然现象——从宇宙的产生到每个微观的亚核反应过程。
把两个东西对换一下，就好像没动过一样，这就是对称。把左边的东西和右边的东西互换一下，而没有任何变化，这就叫做镜像对称，意思就是像照镜子一样，镜子里和镜子外的事物是一样的。人体和动物形体大多是镜像对称的，中国的故宫、天坛等建筑也是镜像对称的。
在空间里，沿着任何方向平移一单元，平移后的图像与原图无法区分（即完全重合），这种操作可继续下去，这就是平移对称。规整的网格就具有平移对称性，在自然界中，蜂巢、竹节或串珠都具有平移对称性。
把一个质地均匀的球绕球心旋转任意角度，它的形状、大小、质量、密度分布等等，所有的性质都保持不变，这就是旋转对称。一朵有5片相同花瓣的花（比如梅花和紫荆花）绕垂直花面的轴旋转2π/5或2π/5整数倍角度，旋转前后完全是一样的，没有什么变化，我们就说它具有2π/5旋转对称性。反过来说，如果一个球的边缘上有一个点或有些残缺，这个点或残缺就能区分旋转前后的情况，它就不具有旋转对称性了——或者说它的旋转对称性是破缺的。
以上说的都是物体的外在形体的对称。物理学中还有一类更重要的对称：物理规律的对称。就拿牛顿定律来说吧，无论怎么转动物体，物体的运动都遵从牛顿定律，因此，牛顿定律具有旋转对称性；镜子里和镜子外物体的运动都遵从牛顿定律，牛顿定律又具有镜像对称性；物体在空间中任意移动后，牛顿定律仍然有效，牛顿定律也具有空间平移对称性；.在不同的时间，昨天、今天或明天，物体的运动也都遵从牛顿定律，牛顿定律还具有时间平移对称性……其他已知的物理定律也都有类似的情况。
物理学家们一向对对称性有着特殊的兴趣。对称性常常使得我们可以不必精确地求解就可以获得一些知识，使问题得以简化。例如，一个无阻力的单摆摆动起来，其左右是对称的，因此，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与向右边摆边的高度一定是相等的，从正中间摆动到左边最高点的时间一定等于摆动到右边最高点的时间，左右两边相应位置处单摆的速度和加速度也一定是相同的……
编辑本段
对称与守恒的关系
物理定律的这些对称性其实也意味着物理定律在各种变换条件下的不变性，由物理定律的不变性，我们可以得到一种不变的物理量，叫守恒量，或叫不变量。例如，空间旋转最重要的参量是角动量，如果一个物体是空间旋转对称的，它的角动量必定是守恒的，因此，空间旋转对称对应于角动量守恒定律。再如，如果把瀑布水流功率全部变成电能，在任何时候，同样的水流的发电功率都是一样的，这个能量不会随时间的改变而改变，因此，时间平移对称对应于能量守恒。还有，空间平移对称对应于动量守恒，电荷共轭对称对应于电量守恒，如此等等。
物理定律的守恒性具有极其重要的意义，有了这些守恒定律，自然界的变化就呈现出一种简单、和谐、对称的关系，也就变得易于理解了。所以，科学家在科学研究中，对守恒定律有一种特殊的热情和敏感，一旦某一个守恒定律被公认以后，人们是极不情愿把它推翻的。
因此，当我们明白了各种对称性与物理量守恒定律的对应关系后，也就明白了对称性原理的重要意义，我们无法设想：一个没有对称性的世界，物理定律也变动不定，那该是一个多么混乱、令人手足无措的世界！
物理定律对称性与物理量守恒定律的对应关系，是一位德国女数学家艾米·诺特在1918年首先发现的，因此被称为“诺特定理”。自那以后，物理学家们已经形成了这样一种思维定式：只要发现了一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒定律；反之，只要发现了一条守恒定律，也总要把相应的对称性找出来。
诺特定理将物理学中“对称”的重要性推到了前所未有的高度。不过，物理学家们似乎还不满足，1926年，又有人提出了宇称守恒定律，把对称和守恒定律的关系进一步推广到微观世界。
物质守恒定律，对应哪种对称性？
