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之一，他是亚历山大里亚学派的成员。欧几里德写过一本书，书名为《几何原本》(Elements)共有13卷。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何原本》的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。欧几里德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本命题，一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中，每个证明必须以公理为前提，或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多2000年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。
欧基里得 (活动于公元前330-前275)
古希腊数学家。以其所著的《几何原本》(简称《原本》）闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典,深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410～485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说： “几何无王者之路。”意思是， 在几何里，没有专为国王铺设的大道。
欧几里得将公元前 7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题,指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得所著，而且已经散失。
欧几里德的《几何原本》中收录了23个定义，5个公理，5个公设，并以此推导出48个命题（第一卷）。
享盛誉时期约公元前300年
几里德里位古希腊几何学家，凭着一本《几何原本》而流芳千古。虽然像拿破仑、亚历山
大和马钉路德这样的人物，其有生之年的名气要比欧几里德显赫得多，但是，从历史的视
角来看，欧几里德应该比他们要流传久远。
关于欧几里德的生平，我们几乎一无所知。既不知他的生卒年月，也不知其出生地点。我们
只知道他在公元前300年左右是活跃在埃及亚历山大省的一位教师。他的名望主要来自于队
编写的伟大的几何教科书《几何原本》。他还写过几本书，其中有的被保留至今。
《几何原本》中几乎所有的定理和证法在欧几里德以前就众所周知了，但这并不是该
书的重要性之所在。欧几里德的卓越贡献在于他对教材的编排和大纲的制订。
他首先精心挑选出一套定理和公理，接着就按照由浅入深、循序渐进的规律，认真编排这些
定律和公理。他的思路缜密，极具逻辑性，在必要的地方补充了缺少的步骤，提供了不足的
证据。值得注意的是，这本主要内容涉及平面几何和立体几何的《几何原本》，也包含着大
量的代数和数论的内容。
欧几里德编写的这部分臻于完善，勿容置疑是历史上曾经出现过的最成功的教科书。它刚一
问世就取代了所有以前的教科书（使它们很快从人们的记忆中消失了），从此以后一直使用
了2000多年。
《几何原本》最初用希腊文写成，后来被翻译成多国文字。
《几何原本》是严谨的逻辑推理体系的杰作，自问世以来，一直对每一位伟大的思想家都有
巨大的魔力。它起到锻炼人们逻辑思维能力的作用，其影响远远超过了亚里士多德的任何一
篇逻辑论文。
历史学家们普遍认为，欧几里德这部巨著是现代科学崛起的一个重要因素。因为科学不仅仅
是准确的观察和精辟概括的集合体，现代科学的伟大成就一部分是经验论和实验法相结合的
产物，另一部分是认真分析和逻辑演绎相结合的产物。
因为有欧几里德这样的权威存在，欧洲人认为从几个基本物理学定律可以推导出任何其他定
律，这种思想是天经地义的。一般说来，欧洲人并未把欧几里德几何看成是抽象有体系，而
是认为欧几里德定律真实地反映了客观世界。
欧几里德对伊萨克·牛顿的影响尤其突出，因为牛顿的伟大著作《原理》也是用“几何”形
式，即用与《几何原本》相类似的形式写出来的，许多不同的科学家都竭力仿效欧几里德，
他们试图从少数几个原始的前提下推导出自己所有的结论。像罗素和怀特海这样著名的数学
家和斯宾满莎这样的哲学家都曾做过这样的尝试。
不过，今天已有了许多门非欧几何学，数学们终于明白了欧几里德几何并不是可以设计出来
的唯一统一的几何学体系。在过去的150年中，出现了诸如黎曼几何等非欧几何。本世纪自
爱因斯担的广义相对论被公认以来，科学家们就认识到在客观的宇宙中欧氏几何并不总是成
交的。例如在黑洞和中子星相邻的区域内，重力场非常强，欧氏几何学不能准确地描述出那
个世界的模样。
人类知识的新的进展也许会发现欧氏几何的一些局限性，但是无论如何不能降低凝聚着欧几
里德智慧的成就，也不能削弱他的历史地位。
欧几里德几何
燑/P> 欧几里德几何即是我们在中学当作“几何”学习的学科。然而，我预料大部分人会将其视作数学，而不视作物理。当然，它也是数学。但是，欧几里德几何决不是仅有的可以想得出的数学几何。欧几里德传给我们的特殊几何非常精确地描述了我们生活其间的世界的物理空间，但这不是逻辑的必然——它仅仅是我们物理世界的（几乎准确的）被观察的特征。
燑/P> 图5.1(a)欧几里德空间中的一个三角形。
(b)罗巴切夫斯基空间中的一个三角形。
燑/P> 的确还存在另外称作罗巴切夫斯基（或双曲）的几何①，它大部分方面非常像欧几里德几何，但还具有一些有趣的差别。例如，我们记得在欧几里德几何中任意三角形的三个角的和为180°。在罗巴切夫斯基几何中，这个和总是比180°小，并且这个差别和三角形的面积成比例（见图5.1）。
著名的荷兰艺术家毛里兹·C·伊歇为这种几何给出了一种非常精细和准确的表象（见图5.2）。按照罗巴切夫斯基几何，所有的黑鱼具有相同的大小和形状；类似地，白鱼亦是如此。不能将这种几何在通常的欧几里德平面上完全精密地表达出来，所以在圆周边界的内缘显得非常拥挤。想象你自身位于该模型的某一靠近边界的地方，罗巴切夫斯基几何使你觉得就象位于中间或任何其他地方一样。按照这一欧几里德表象，该模型的“边界”正是罗巴切夫斯基几何中的“无穷远”。此处边界圆周根本不应该被看成罗巴切夫斯基空间的一部分——在圆周之外的任何其他的欧几里德区域就更不是了。（这一罗巴切夫斯基平面的天才表象应归功于彭加莱。它卓越的优点在于，非常小的形状在此表象中不被畸变——只不过它的尺度被改变。）该几何中的直线（伊歇鱼就是沿着其中某些直线画出的）即为与边界圆周作直角相交的圆弧。
我们世界在宇宙学的尺度下，实际上很可能是罗巴切夫斯基空间（参阅第七章376页）。然而，在这种情形下，三角形亏角和它的面积的比例系数必须是极为微小。在通常的尺度下，欧几里德几何是这种几何的极好的近似。事实上正如我们在本章将要看到的，爱因斯坦的广义相对论告诉我们，在比宇宙学尺度小相当多的情形下，我们世界的几何的确与欧几里德几何有偏离（虽然是以一种比罗巴切夫斯基几何更复杂的“更无规”的方式），尽管这偏离在我们直接经验的尺度下仍是极为微小的。
燑/P> 图5.2罗巴切夫斯基空间的伊歇图。（所有黑鱼和白鱼都认为是全等
燑/P> 欧几里德几何似乎精确地反映了我们世界“空间”的结构的这一事实，作弄了我们（以及我们的祖先），使我们以为几何是逻辑所必须的，或以为我们有种先天的直觉的领悟，欧几里德几何必须适用于我们在其中生活的世界。（甚至伟大的哲学家伊曼努尔·康德也作此断言。）只有爱因斯坦在许多年以后提出的广义相对论真正地突破了欧几里德几何，欧几里德几何远非逻辑所必须的，它只是该几何如此精确地（虽然不是完全准确地）适合于我们物理空间结构的经验的观测事实！欧几里德几何确实是一个超等的物理理论。这是它作为纯粹数学的一部分的精巧性和逻辑性以外的又一个品质。
在某种意义上，这和柏拉图（约公元前360年；大约在欧几里德著名的《原本》一书出版之前五十年左右）采纳的哲学观点相差不远。依柏拉图观点，纯粹几何的对象——直线、圆周、三角形、平面等等——在实际的物理世界中只能近似地得到实现。而那些纯粹几何在数学上的精确对象居住在一个不同的世界里——数学观念的柏拉图的理想世界中。柏拉图的世界不包括有可感觉的对象，而只包括“数学的东西”。我们不是通过物理的方法，而是通过智慧来和这个世界接触。只要人的头脑沉思于数学真理，用数学推理和直觉去理解，则就和柏拉图世界有了接触。这个理想世界被认为和我们外部经验的物质世界不同，虽然比它更完美，但却是一样地实在。（回顾一下我们在第三章113页和第四章129页关于数学概念的柏拉图实在性的讨论。）这样，可以单纯地用思维来研究欧几里德几何，并由此推导其许多性质，而外部经验的“不完美的”世界不必要刚好符合这些观念。基于当时十分稀少的证据，柏拉图以某种不可思议的洞察力预见到：一方面，必须为数学而研究数学，不能要求它完全精确地适用于物理经验的对象；另一方面，实际的外部世界的运行只有按照精确的数学——亦即“智慧接触得到的”柏拉图理想世界才能最终被理解。
柏拉图在雅典创建了科学院以推动这种观念。极富影响的著名的哲学家亚里斯多德即为其中之出类拔萃者。但是我们要在这里论及另一位比亚里斯多德名望稍低的科学院成员，即数学家兼天文学家欧多索斯。依我看来，他是一位更优秀得多的科学家，也是古代最伟大的思想家之一。
欧几里德几何中有一基本的、微妙的并的的确确最重要的部分，那就是实数的引进，虽然今天我们几乎不认为它是几何的（数学家宁愿将它称作“分析”的，而非“几何”的。）因为欧几里德几何研究长度和角度，所以必须了解用何种“数”来描写长度和角度。新观念的核心是在公元前四世纪由欧多索斯（约公元前408至355年）②提出的。
欧基里得 (活动于公元前330-前275)
古希腊数学家。以其所著的《几何原本》(简称《原本》）闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典,深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410～485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说： “几何无王者之路。”意思是， 在几何里，没有专为国王铺设的大道。
欧几里得将公元前 7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题,指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得所著，而且已经散失。
欧几里德的《几何原本》中收录了23个定义，5个公理，5个公设，并以此推导出48个命题（第一卷）。
享盛誉时期约公元前300年
几里德里位古希腊几何学家，凭着一本《几何原本》而流芳千古。虽然像拿破仑、亚历山
大和马钉路德这样的人物，其有生之年的名气要比欧几里德显赫得多，但是，从历史的视
角来看，欧几里德应该比他们要流传久远。
关于欧几里德的生平，我们几乎一无所知。既不知他的生卒年月，也不知其出生地点。我们
只知道他在公元前300年左右是活跃在埃及亚历山大省的一位教师。他的名望主要来自于队
编写的伟大的几何教科书《几何原本》。他还写过几本书，其中有的被保留至今。
《几何原本》中几乎所有的定理和证法在欧几里德以前就众所周知了，但这并不是该
书的重要性之所在。欧几里德的卓越贡献在于他对教材的编排和大纲的制订。
他首先精心挑选出一套定理和公理，接着就按照由浅入深、循序渐进的规律，认真编排这些
定律和公理。他的思路缜密，极具逻辑性，在必要的地方补充了缺少的步骤，提供了不足的
证据。值得注意的是，这本主要内容涉及平面几何和立体几何的《几何原本》，也包含着大
量的代数和数论的内容。
欧几里德编写的这部分臻于完善，勿容置疑是历史上曾经出现过的最成功的教科书。它刚一
问世就取代了所有以前的教科书（使它们很快从人们的记忆中消失了），从此以后一直使用
了2000多年。
《几何原本》最初用希腊文写成，后来被翻译成多国文字。
《几何原本》是严谨的逻辑推理体系的杰作，自问世以来，一直对每一位伟大的思想家都有
巨大的魔力。它起到锻炼人们逻辑思维能力的作用，其影响远远超过了亚里士多德的任何一
篇逻辑论文。
历史学家们普遍认为，欧几里德这部巨著是现代科学崛起的一个重要因素。因为科学不仅仅
是准确的观察和精辟概括的集合体，现代科学的伟大成就一部分是经验论和实验法相结合的
产物，另一部分是认真分析和逻辑演绎相结合的产物。
因为有欧几里德这样的权威存在，欧洲人认为从几个基本物理学定律可以推导出任何其他定
律，这种思想是天经地义的。一般说来，欧洲人并未把欧几里德几何看成是抽象有体系，而
是认为欧几里德定律真实地反映了客观世界。
欧几里德对伊萨克·牛顿的影响尤其突出，因为牛顿的伟大著作《原理》也是用“几何”形
式，即用与《几何原本》相类似的形式写出来的，许多不同的科学家都竭力仿效欧几里德，
他们试图从少数几个原始的前提下推导出自己所有的结论。像罗素和怀特海这样著名的数学
家和斯宾满莎这样的哲学家都曾做过这样的尝试。
不过，今天已有了许多门非欧几何学，数学们终于明白了欧几里德几何并不是可以设计出来
的唯一统一的几何学体系。在过去的150年中，出现了诸如黎曼几何等非欧几何。本世纪自
爱因斯担的广义相对论被公认以来，科学家们就认识到在客观的宇宙中欧氏几何并不总是成
交的。例如在黑洞和中子星相邻的区域内，重力场非常强，欧氏几何学不能准确地描述出那
个世界的模样。
人类知识的新的进展也许会发现欧氏几何的一些局限性，但是无论如何不能降低凝聚着欧几
里德智慧的成就，也不能削弱他的历史地位。
欧几里德几何
燑/P> 欧几里德几何即是我们在中学当作“几何”学习的学科。然而，我预料大部分人会将其视作数学，而不视作物理。当然，它也是数学。但是，欧几里德几何决不是仅有的可以想得出的数学几何。欧几里德传给我们的特殊几何非常精确地描述了我们生活其间的世界的物理空间，但这不是逻辑的必然——它仅仅是我们物理世界的（几乎准确的）被观察的特征。
燑/P> 图5.1(a)欧几里德空间中的一个三角形。
(b)罗巴切夫斯基空间中的一个三角形。
燑/P> 的确还存在另外称作罗巴切夫斯基（或双曲）的几何①，它大部分方面非常像欧几里德几何，但还具有一些有趣的差别。例如，我们记得在欧几里德几何中任意三角形的三个角的和为180°。在罗巴切夫斯基几何中，这个和总是比180°小，并且这个差别和三角形的面积成比例（见图5.1）。
著名的荷兰艺术家毛里兹·C·伊歇为这种几何给出了一种非常精细和准确的表象（见图5.2）。按照罗巴切夫斯基几何，所有的黑鱼具有相同的大小和形状；类似地，白鱼亦是如此。不能将这种几何在通常的欧几里德平面上完全精密地表达出来，所以在圆周边界的内缘显得非常拥挤。想象你自身位于该模型的某一靠近边界的地方，罗巴切夫斯基几何使你觉得就象位于中间或任何其他地方一样。按照这一欧几里德表象，该模型的“边界”正是罗巴切夫斯基几何中的“无穷远”。此处边界圆周根本不应该被看成罗巴切夫斯基空间的一部分——在圆周之外的任何其他的欧几里德区域就更不是了。（这一罗巴切夫斯基平面的天才表象应归功于彭加莱。它卓越的优点在于，非常小的形状在此表象中不被畸变——只不过它的尺度被改变。）该几何中的直线（伊歇鱼就是沿着其中某些直线画出的）即为与边界圆周作直角相交的圆弧。
我们世界在宇宙学的尺度下，实际上很可能是罗巴切夫斯基空间（参阅第七章376页）。然而，在这种情形下，三角形亏角和它的面积的比例系数必须是极为微小。在通常的尺度下，欧几里德几何是这种几何的极好的近似。事实上正如我们在本章将要看到的，爱因斯坦的广义相对论告诉我们，在比宇宙学尺度小相当多的情形下，我们世界的几何的确与欧几里德几何有偏离（虽然是以一种比罗巴切夫斯基几何更复杂的“更无规”的方式），尽管这偏离在我们直接经验的尺度下仍是极为微小的。
燑/P> 图5.2罗巴切夫斯基空间的伊歇图。（所有黑鱼和白鱼都认为是全等
燑/P> 欧几里德几何似乎精确地反映了我们世界“空间”的结构的这一事实，作弄了我们（以及我们的祖先），使我们以为几何是逻辑所必须的，或以为我们有种先天的直觉的领悟，欧几里德几何必须适用于我们在其中生活的世界。（甚至伟大的哲学家伊曼努尔·康德也作此断言。）只有爱因斯坦在许多年以后提出的广义相对论真正地突破了欧几里德几何，欧几里德几何远非逻辑所必须的，它只是该几何如此精确地（虽然不是完全准确地）适合于我们物理空间结构的经验的观测事实！欧几里德几何确实是一个超等的物理理论。这是它作为纯粹数学的一部分的精巧性和逻辑性以外的又一个品质。
在某种意义上，这和柏拉图（约公元前360年；大约在欧几里德著名的《原本》一书出版之前五十年左右）采纳的哲学观点相差不远。依柏拉图观点，纯粹几何的对象——直线、圆周、三角形、平面等等——在实际的物理世界中只能近似地得到实现。而那些纯粹几何在数学上的精确对象居住在一个不同的世界里——数学观念的柏拉图的理想世界中。柏拉图的世界不包括有可感觉的对象，而只包括“数学的东西”。我们不是通过物理的方法，而是通过智慧来和这个世界接触。只要人的头脑沉思于数学真理，用数学推理和直觉去理解，则就和柏拉图世界有了接触。这个理想世界被认为和我们外部经验的物质世界不同，虽然比它更完美，但却是一样地实在。（回顾一下我们在第三章113页和第四章129页关于数学概念的柏拉图实在性的讨论。）这样，可以单纯地用思维来研究欧几里德几何，并由此推导其许多性质，而外部经验的“不完美的”世界不必要刚好符合这些观念。基于当时十分稀少的证据，柏拉图以某种不可思议的洞察力预见到：一方面，必须为数学而研究数学，不能要求它完全精确地适用于物理经验的对象；另一方面，实际的外部世界的运行只有按照精确的数学——亦即“智慧接触得到的”柏拉图理想世界才能最终被理解。
柏拉图在雅典创建了科学院以推动这种观念。极富影响的著名的哲学家亚里斯多德即为其中之出类拔萃者。但是我们要在这里论及另一位比亚里斯多德名望稍低的科学院成员，即数学家兼天文学家欧多索斯。依我看来，他是一位更优秀得多的科学家，也是古代最伟大的思想家之一。
欧几里德几何中有一基本的、微妙的并的的确确最重要的部分，那就是实数的引进，虽然今天我们几乎不认为它是几何的（数学家宁愿将它称作“分析”的，而非“几何”的。）因为欧几里德几何研究长度和角度，所以必须了解用何种“数”来描写长度和角度。新观念的核心是在公元前四世纪由欧多索斯（约公元前408至355年）②提出的。