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22个不等式猜想证明综述

2012-08-17 06:54阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1276195074

二十二道不等式猜想中的否定与反例专题
杨学枝老师不等式猜想10、11的初等证明
杨学枝老师不等式猜想10、11的加强与证明（得到最佳指数）
杨学枝校长不等式猜想2的证明
杨学枝老师不等式猜想4的证明
杨学枝老师不等式猜想13的部分证明

笔者于2009年8月8日至10日，在深圳召开的全国第七届初等数学研究学术交流会上，以及2009 年8 月15 日至16 日在浙江电大海宁学院召开“第四届全国不等式学术年会”会上报告了《二十二道不等式猜想》（也可参见拙作《数学奥林匹克不等式研究》一书，哈尔滨工业大学出版社，2009年7月出版），三年来，全国不等式爱好者展开了热烈讨论，使得这22道不等式猜想基本上得到了解决，现将具体解决情况综述如下，有遗漏之处，敬请谅解.
1. 设 clip_image002
， clip_image004，则
clip_image006，
当且仅当 clip_image008时取等号.
见《数学奥林匹克不等式研究》第一章“等价变换法证明不等式”例7.
2011.10.27，张小明老师（浙江海宁电大）利用凸函数的受控理论，解决其中的猜想1，2011.11.04张老师又进一步作了改进证明；2012.01.08、2012年5月，严文兰老师(.广东省河源市连平县忠信中学)先后用初等的方法进一步证明了猜想1，并作了如下推广：
设 clip_image002[1]， clip_image004[1]，则
clip_image012
当且仅当 clip_image008[1]时取等号.
2. 设 clip_image015，记 clip_image017，又记 clip_image019， clip_image021. clip_image023是关于 clip_image025的初等对称式，则有
clip_image027.
见《数学奥林匹克不等式研究》第一章“等价变换法证明不等式”例14.
2010年1月，石焕南老师（北京联合大学师范学院），用控制不等式的方法证明了猜想2，并刊于《不等式研究通讯》2010年第2期上；2012.6.15，严文兰老师用初等的方法证明了猜想2.
3. 设 clip_image015[1]， clip_image030，且 clip_image032，则
clip_image034，
当且仅当 clip_image036时取等号.
见《数学奥林匹克不等式研究》第四章“应用基本不等式证明不等式”例26.
2007年7月12日笔者解答了 clip_image038和 clip_image040的情况，分别见《数学奥林匹克不等式研究》第四章“应用基本不等式证明不等式”例26和第七章“其他法证明不等式例子”例27；2012.03.30，严文兰老师用计算机验证了当 clip_image042时，猜想3不成立.但对于当 clip_image044
时，还未解决.
4. 设 clip_image046则
clip_image048，
当且仅当 clip_image050时取等号.
见《数学奥林匹克不等式研究》第三章“放缩法证明不等式”例7.
当

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