流数法与无穷级数》（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum）
2008-02-18 20:31阅读：
英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家牛顿著。撰于1671年。这是牛顿在数学方面的代表作，其中将1666年10月的流数短论进行了扩充。其英译本于1736年出版，但原拉丁文本直到1779年才出版。牛顿生前一直在利用这部著作，其手稿形式便由于一些数学家借阅而广为人知。
《流数法与无穷级数》对于牛顿的流数分析方法提供了比《运用无穷多项方程的分析学》更一般、更好的阐述。其前一部分包含了后一本书的扩充，并且包括用于求解代数方程和微分方程的无穷级数法（待定系数法）的详细讨论。接着，以20个正式叙述的问题为标题，相当广泛地收集了牛顿的级数法和流数法的应用实例。“流数法”反映了这一理论的力学背景，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量的变化率。牛顿表述流数法的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的
流数的关系以及逆运算。在“问题
3一一极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了下述原理：当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少……所以求出它的流数，并合迄今流数等于零。这里，牛顿的意思是，使f’(x)＝0的点即是f（x）的极值点。他列举了能用这种方法求解的9个几何问题，如问题4是作曲线的切线。在该书中，牛顿继续使用无穷小瞬作为流数计算的基础，他记时间的瞬为0，它所引起的流量的瞬为，，…他在具体计算中指出那些含0的项可被看作零而略去。例如，已知方程
分别以、代替 x、y，得
。
展开左边各项并代人原方程，两边同除以0，然后略去含0的项，即得流数关系
。
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在问题8中，牛顿正式引入了他的代换积分法，给出了蔓叶线、摆线和阿基米德螺线的巧妙的求积方法，这些求积法利用了一种强有力的积分变换法，其中包括了分部积分法和代换积分法。问题12是关于曲线长度的确定，牛顿利用基本的流数法计算弧长，他由特征三角形导出了弧长的关系式。在例5中求出了蔓叶线
的长度。在最后一个求弧长的例题中，牛顿应用他的级数
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求出割圆曲线
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在［0，x］区间上弧长的天穷级数展开式为
《流数法与无穷级数》中还包括两个积分表。第一个表的标题是：“与直线图形有关的曲线一览表”，其中列出了相应的面积能够通过微分或反微分明确算出的一些曲线。第二个表是：“与圆锥曲线有关的曲线一览表”，其中列出了一些曲线，其相应的面积能够通过适当的圆锥曲线下的面积来表示。牛顿列举了一些面积的计算，以说明他的积分表的应用。
在该著作的一个附录（1969年才首次发表）中，牛顿发展了一种曲线的“最初与最终比”的几何理论，后来部分地纳入了1687年出版的《自然哲学的数学原理》第一编第一章及后来的《论曲线的求积》中。
