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如何构造任意阶幻方

2008-02-10 13:24阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1282006313

填幻方
郑州市73中 张丕臣
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幻方又名魔方,或曰纵横图,.这是一种即古老而又充满活力的数学分支.近年来,人们对它的兴趣越来越浓厚.各种幻方及花样幻方层出不穷,引人入胜.
一个n阶幻方指的是将从1到n2的n2个数,排成一个n行n
列的方阵,使得沿着任何行列和对角线上的n个数的和都相等,这
个和称为幻方常数.如果n阶幻方存在的话,易知其幻方常数为 n(n2+1). 图1
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当n=3,4,5,6,7,8时幻方常数分别为15,34,65,111,175,260.下面分三种情况向读者介
绍n阶幻方的最简单最一般的构造方法.
一. 奇数阶幻方的一般构造方法.
最简单的是三阶幻方,如图1,这是中华民族的
优秀文化遗产之一,有“九宫图” 图2
“洛书”之称.
构造奇数阶幻方,有一种非常简单巧妙的方法.仅以五阶幻方为例加以说明.首先把1放在首行正中间的位置,然后把所有后继数按“右上对角线”法放在右上斜对角的方格里,并作如下调整:

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(1) 当超出顶行时,下一个数就放在底行里
上下相对应的格里去(上出下入)如2,9.
(2) 当超出右端列时,下一个数就放在左端
列里去(简称右出左入).如4,10,17,23.
(3) 当到达的格子已经填入数或者到达右上
角的方格时,下一个数就填在刚填写的这个数的
下边(简称:上有下填).如6,11,16,21
用这种方法可以构造出任意奇数阶幻方.图3
是用这种方法填写的一个七阶幻方. 图3
用右上对角线法填出的幻方有一些非常美妙的性质:
① 它属于雪花幻方,即与中心数(如七阶幻方中的25)成中心对称的两个数之和都相等.如1+49=2+48=10+40
② 第一行(列)与最后一行(列)的平方和相等,第二行(列)与倒数第二行(列)的平方和相等,…
二. 4n阶幻方的一般构造方法
以四阶幻方为例加以说明:作4×4正方形的对角线,按下述方法填入各数:

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(1) 从第一行起,按从左到右的次序依次填入,只在没有被(当然也可以是全被)对角线割开的方格里记上该方格的位置序号如图4.
(2) 再从最后一行起,按从右向左,自下而上的的顺序依次在剩下的方格里填入该位置方格的位置序号.
一个四阶幻方就做好了. 图4
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在构作8阶,12阶,16阶,…幻方时,只要先把它分成4×4方块,再画出所有4×4正方形的对角线,然后用上述方法填入各数即可.用这种方法构作的4n阶幻方有如下特殊性质:
① 4n阶幻方中,前2n行(列)的各数的平方和等于后2n行(列)的各数的平方和;
② 对角线(包括所有4×4正方形中的对角线)上的数与 图5
非对角线的数的和,平方和,立方和分别相等.
三. 4n+2阶幻方的构造方法





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以六阶幻方为例加以说明:
将中间的4×4正方形按四阶幻方处理将从1---36这36
各数中中间的16个数填入表中如图6.将剩余的数按大小搭
配成对(1,36), (2,35), (3,34), …,(10,27).共10对.计数时
当某对数的一个数填入第一行(左端列)时,另一个数就相应
地填入最后一行(右端列)相对应的格里.特别的,当某数填在
6×6的正方形的某一个角时,另一个数就填在对角的位
置上. 图6

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