级数的类别

2012-11-04 11:13阅读：

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几何级数 几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.$

一般来说，几何级数 $\sum_{n=0}^\infty z^n$ 收敛当且仅当 |z| < 1。

调和级数

主条目：调和级数

调和级数是指通项为 ${1 \over n}$ 的级数：

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}$

它是发散的。

p-级数

p-级数是指通项为 $\frac{1}{n^p}$ 的级数：

$U_p =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$

对于实数值的p，当p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。
函数 $\zeta : p \mapsto U_p$ 是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼ζ函数有著名的黎曼猜想。

裂项级数

$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$

收敛当且仅当数列b_n收敛到某个极限L，并且这时级数的和是b₁ − L。

泰勒级数

泰勒级数是关于一个光滑函数 $f$ 在一点 $a$ 附近取值的级数。泰勒函数由函数在点 $a$ 的各阶导数值构成，具体形式为：

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$

这是一个幂级数。如果它在 $a$ 附近收敛，那么就称函数 $f$ 在点 $a$ 上是解析的。

交错级数

具有以下形式的级数

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$

其中所有的 a_n 非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

幂级数

形同 $\sum a_n (x- x_0)^n$ 的函数项无穷级数称为 $x- x_0$ 的幂级数。它的收敛与否和系数 $a_n$ 有关。

傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
例如，周期为 $2 \pi$ 的周期函数 $f(x)$ 可以表示为：

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx +b_n \sin nx), n=1,2,3...$

其中， $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx$ ， $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx$ ，特别的， $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

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