自然数列相邻两数的乘积之和的研究

自然数列相邻两数的乘积之和的研究
（2013-3-10）
例1. 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n（n+1）
=1×（1+1）+2×（2+2）+3×（3+3）+4×（4+4）+……n×（n+n）
=（1+2+3+4+……+n）+（1² +2² +3² +4² +……+n²）
= n（n+1）/2 + n(n+1)(2n+1)/6
= n(n+1)( n+2)/3
这就是说，在前n+1个自然数中，所有相邻两数的乘积（除首项1和末项n+1外，其他每项的数既做一次被乘数，又做一次乘数，均出现了2次，共有n项乘积）之和，即
1×2 + 2×3 + 3×4 +…+ n×（n+1）= n(n+1)( n+2)/3。
例2. 观察下面两式，（1）有n+1个加数，（2）有n-1个加数，共有2n项，
1×2 + 3×4 + 5×6 + …… + （2n-1）×2n （1）
2×3 + 4×5 + …