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用极限切割法推导球体积公式

2014-08-27 14:33阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1286367467

记得2007年上高中的时候,高二某一册数学课本上有推导球体积公式的过程,在这里,我和上面用的是同样的方法,只是公式的计算是我自己完成的.下面切入正题.
用极限切割法推导球体积公式



如图,从下至上将半球切割成了n份,将每一份近似看作一个圆柱体,每个近似圆柱体的高为球的半径R/n.
从下至上,取下底的面积,
第1个圆柱的底面积为S0 =πR2,体积V­
;0 =πR2·(R/n)
第2个圆柱的底面积为S1 =π(R2-R2/n2),V1 =π(R2-R2/n2)·(R/n)
第3个圆柱的底面积为S2 =π(R2-(2R)2/n2),V2 =π(R2-(2R)2/n2)·(R/n)
……
第n个圆柱的底面积为S2 =π(R2-((n-1)R)2/n2)，Vn-1=π(R2-((n-1)R)2/n2)· (R/n)
所以半球的体积
V = V­0+ V1+ V2+ …+Vn-1 = πR2·(R/n) +πR2(R2-R2/n2)·(R/n) +π(R2-(2R)2/n2)·(R/n) +…+π(R2-((n-1)R)2/n2)·(R/n)
= πR/n[R2+ (R2-R2/n2)+ (R2-(2R)2/n2)+…+ (R2-((n-1)R)2/n2)
= πR3/n[n-(1/n2)(12+22+…+(n-1) 2]
= πR3·(4n2+3n-1)/6n2
= πR3·(4n2+3n-1)/6n2
= πR3·(4+3/n-1/n2)/6
很显然,当n→∞时V = 2πR3/3
所以,球体的体积为 4πR3/3.

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