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二次型——矩阵合同、相似、等价之间的关系

2014-12-30 22:52阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1287057004


实对称矩阵，较之于普通矩阵，有许多好的性质，这几乎可以类比成“一白遮百丑”，实际上想说的是“一步领先，步步领先”。
1、普通矩阵，它的不同特征值对应的特征向量，只是线性无关；而实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。
2、普通矩阵，其非零特征值的个数与矩阵秩之间没有明确关系；而实对称矩阵非零特征值的个数等于矩阵的秩。
3、普通矩阵A,B，两矩阵相似，可以推导出它俩具有相同的特征值，但反之未必；而俩实对称矩阵相似的充要条件就是它俩具有相同的特征值（证明请见后面的题目）。

4、普通矩阵，未必可以相似对角化；而实对称矩阵一定可以相似对角化，而且是正交对角化。
 ★5、普通矩阵A,B，A与B相似（P^(-1)AP=B） ⇒
A与B等价（或等秩）（PAQ=B），A与B合同（P'AP=B） ⇒ A与B等价（或等秩）。但反之未必，而且“相似”与“合同”之间也没有什么明确关系。
而实对称矩阵A,B，除了满足普通俩矩阵成立的两个性质之外，还成立：（1）A与B合同 ⇔ 二次型x'Ax与x'Bx有相同的正（负）惯性指数（证明请见文末的第二篇相关博文）；（2）A与B相似 ⇒ A与B合同（因为A与B的特征值相同，且存在正交变换使得P'AP=Λ= Q'BQ，从而(PQ')'A(PQ')=QP'APQ'=B.）。给个示意图吧：
二次型——矩阵合同、相似、等价之间的关系
 ……
下面一道题目，就是对实对称矩阵的相关性质的一个检验：
 二次型——矩阵合同、相似、等价之间的关系
二次型——矩阵合同、相似、等价之间的关系
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相关博文
关于俩同维（阶）矩阵A与B，“等价 ⇔ 等秩r(A)=r(B) ”的证明，请见博文：

向量空间——向量组(A)线性无关条件下向量组(B)线性无关的充要条件

二次型——俩实对称矩阵合同的充要条件是它们具有相同的正（负）惯性指数
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