牛顿第二定律与动量定理刍议

2007-04-13 22:22阅读：

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在高中《物理》教材中，动量定理F·t＝mv₂－mv₁，是由牛顿第二定律F＝ma推导出来的，那么应如何准确地理解动量定理与牛顿第二定律呢？本文做一初浅的探讨。
一、动量定理是牛顿第二定律原来采用的形式
在牛顿提出运动第二定律之前，伽利略在批判亚里士多德的力与速度的依赖关系的基础上，提出了力与加速度的依赖关系，但是他没有也不可能在当时的条件下发现作用力与加速度之间的定量关系。在1684年8月之后，牛顿用几何法和极限概念论证了引力平方反比律，在为解决万有引力是否跟质量成正比的问题时，他发现了运动第二定律，具体的记载有两处，一处是在“论物体的运动”一文手稿中写道：“…动力与加速度的力之比等于运动与速度之比。因为运动的量是由速度乘以物质的量导出的…”。另一处是在《自然哲学的数学原理》的定义Ⅷ中给出的：“因为运动的量是由速度乘以物质的量求出来的，并且动力是由加速度的力乘以同一物质之量求出来的，物体的几个粒子上的加速的力的作用总和就是整个物体的动力”。上面两段话中，“加速的力”指的是加速度，“运动”“运动的量”指的是动量，“动力”指的是与加速度对应的作用力，“物体”“物质的量”就是质量。由此可知，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动量是用它的速度和质量一起来量度的”，“并把动量的变化率称之为力”，“他又用动量来表述运动第二定律”。综上所述，牛顿其实已经提出了运动第二定律的文字表述：作用力与加速度成正比。但当时牛顿并没有明确地用公式（F＝ma）表述出来，牛顿第二定律原来采用的形式是

力F、质量m、速度v和时间t这四个物理量，选择适当的单位，可使比例系数k＝1，这时，牛顿第二定律可表示为
　①
因此，牛顿第二运动定律的真实表述应该是物体所受外力等于其动量对时间的变化率。①式也叫做牛顿第二定律的微分形式。《自然哲学的数学原理》已经提出了作用力与加速度成正比，但当时牛顿并没有将公式①直接用F＝ma表述出来，这是为什么呢？我国研究牛顿的资深学者阎康年先生在他的专著《牛顿的科学发现与科学思想》中专门研究了牛顿的质量观：“牛顿对质量概念的认识分静质量和动质量两个方面。静质量就是牛顿在《自然哲学的数学原理》中所说的由物体的重量知道的，并与其重量成比例的物质之量；动质量就是牛顿说的物质得以继续保持其运动状态而对外力反抗的一种内在固有的力。”这就是说牛顿知道物体的质量也是个变量，只是在当时牛顿还不可能提出静质量和动质量的概念，因此牛顿没有将m从微分号中拿出来。“也许在那时，牛顿就在冥冥之中预感到物理学未来的发展，于是就在自己的伟大发现中留下了一条耐人寻味的退路。”
奥地利科学家马赫为了普及、推广牛顿力学的应用，改写了牛顿第二定律的形式，他把质量m从微分号内提了出来，免去了微分运算，并把牛顿第二定律表述为
F＝ma　②
用力F，加速度a与质量m等概念来表述牛顿第二定律，将牛顿第二定律通俗化，使具有初等数学水平的人也可以掌握。这样做，对牛顿第二定律的普及和推广确实起到了巨大的推动作用，但同时因马赫把质量m当做常量而给后人准确地理解牛顿第二定律，特别是理解牛顿力学与狭义相对论间的正确关系造成了深远的影响。
二、在经典力学中F＝ma与动量定理是完全等效的
①式既是牛顿第二定律原来采用的表达式，又是动量定理的微分表达式。由此可见，质点的动量定理就是牛顿第二定律原来采用的形式。对于单个质点，动量定理的积分表达式为

当力F和质量m恒定不变时，设t＝t₂－t₁，得
Ft＝mv₂－mv₁③
对于由N个质点组成的质点系，由于质点系的内力只能引起各个质点的动量变化，不能引起总动量的变化，因此有
④
式中m_n表示质点系中第n个质点的质量，v_n1和v_n2分别表示第n个质点在时间t₂－t₁内的初速度和末速度，F_n表示第n个质点所受的外力。将④式两边对t取导数，得
⑤
这就是质点系的质心运动定律。M是质点系的总质量，a_c是质点系质心的加速度。
在经典力学范围内，因为质量m恒定不变，牛顿第二定律F＝ma与动量定理F·t＝mv₂－mv₁，是完全等效的，动量定理是从动量的角度对牛顿第二定律进行表述。在相对论力学中
⑥
式中m₀为质点的静止质量（简称静质量），v和c分别表示质点的速率和真空中的光速。由⑥式可知质点的相对论质量（简称动质量）随质点速率的增大而增大。当v远远地小于c时，可认为质点的质量不变，这时动量定理与牛顿第二定律是等效的。牛顿第二定律的两种形式也是等效的。当v接近到c时，F＝ma和Ft＝mv₂－mv₁，不再成立，但牛顿第二定律（或动量定理）的微分形式仍然成立。由此可见，比F＝ma和Ft＝mv₂－mv₁具有更广泛的适用性和更普遍的意义。
动量定理的微分形式其实也是牛顿第二定律的另一种表述，牛顿第二定律和动量定理都反映了外力作用与物体运动状态变化的因果关系。但动量定理的积分形式比牛顿第二定律的经典形式F＝ma赋予了新的内涵。
牛顿第二定律是牛顿力学的核心内容，它揭示了力是产生加速度的原因，力的作用效果是使物体产生加速度，并用ma来量度力F的作用效果；揭示了加速度跟力的瞬时关系，即加速度跟力即时（同时产生、同时变化、同时消失）、正比、同向；揭示了合外力的大小和方向决定了物体动量变化快慢的规律。
动量定理则揭示了冲量是引起运动状态改变的原因，物体由于受到冲量的作用，导致物理动量的变化，并用冲量来量度物体动量的变化，即冲量决定了物体动量变化的多少，作用在质点上的合外力冲量的矢量和或各外力冲量的矢量和等于质点动量的增量；揭示了一个物理过程中各物理量间的过程关系；揭示了力作用一段时间的过程中，合外力的冲量与物体初、末的动量变化间的矢量关系。

例1　如图1所示，光滑水平面上停着一只木球和载人小车，人与车的总质量为M，木球质量为m，而且知道M／m＝16／1。人以速度v沿水平方向将木球推向竖直墙，球又以速率v弹回，人接球后再以速率v将木球推向墙，如此反复。问：人经几次推木球后，再也不能接住木球？

解析　木球反弹回来的速率始终为v，当人与车的速率增加到v时，则人将不能再接住木球。取木球、人与车组成的系统为研究对象，则这个系统原来的总动量为零，末动量为（m＋M）v。系统动量的增量为ΔP＝（m＋M）v。人与球间的推力只能引起球和人与车的动量变化，不能引起总动量的变化，由④式可知，冲量是物体动量变化的量度，作用在质点系所有外力冲量的矢量和，等于质点系在这段时间内动量的增量。由于这个系统所获得的动量是由木球受到墙的碰撞而得到的，墙对系统的冲量改变了系统的总动量。如图2所示，设向右为正，木球与墙碰撞一次所获得的冲量为

设木球与墙碰n次之后。系统的动量为（m＋M）v，根据动量定理，有

所以

故取　n＝9。
若用动量守恒定律或牛顿第二定律F＝ma求解，求解过程更复杂。
三、牛顿第二定律的微分形式与狭义相对论动力学方程是一致的
在相对论力学中，力也是被定义为动量p对时间的变化率，即
　　⑦
①、⑦式实际上是一致的，只是由于受当时条件的限制，牛顿不可能清楚地知道静质量与动质量之间的区别和精确的定量关系，但是在他的脑海里是清楚地知道，一个物体的速度是和它的质量存在某种联系，因此有人大胆地断言：“动质量和速度构成统一变量的思想是牛顿力学中辩证法的灵魂，也是牛顿力学中早就蕴涵的相对论因素”。
四、动量定理Ft＝mv₂－mv₁，比牛顿第二定律F＝ma更具有普遍意义
动量定理与牛顿第二定律相比较，有其独特的优点：在公式Ft＝mv₂－mv₁，中，只涉及两个状态量mv₂和mv_１，及一个过程量F·t，至于这两个状态中间是怎样的过程，轨迹怎样，加速度怎样，位移怎样全不考虑。在力F作用的过程中不管物体是做直线运动还是曲线运动，动量定理总是适用的。动量定理除了用来解决在恒力持续作用下的问题外，尤其适合用来解决变力问题，对涉及冲力、碰撞、反冲运动的问题，由于力和加速度在极短的时间内急剧变化，不便于用牛顿第二定律求解，而可以用动量定理来处理。当物体在运动过程中所受的力不同时，则用动量定理求解更简捷。因此从某种意义上讲，应用动量定理解题比牛顿第二定律更直接，更简单，适用性更强。

例2　质量为M的金属块和质量为m的木块通过细线系在一起，从静止开始以加速度a在水中下沉，经过时间t₁线断了，金属块与木块分开，如图3所示。再经过时间t₂，木块停止下沉，此时金属块的速度v多大（设此时金属块还没有碰到水池底面）？
解析　取金属块和木块组成的系统为研究对象，系统所受的浮力为F，依题意，由牛顿第二定律得

线断前，金属块和木块除了受到重力、浮力外，还受到了细线的拉力作用；线断后，金属块和木块只受重力和浮力，由于金属块和木块在细线断了前后的两个阶段所受的力不相同，若用F＝ma求解，物理过程比较烦琐。因细线断后系统所受的浮力不变，将系统作为研究对象，当木块停止下沉，即速度为零时，针对整个运动过程，由④式得

由以上两式可得　
例3　一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出的气体的速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？
解析　火箭喷气时，要对气体做功，取一段很短的时间Δt，求出此时间内火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出此火箭的功率。取在△t时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F，根据动量定理，有

根据牛顿第三定律，气体对火箭的作用力大小也等于F，因为火箭静止在空中，由于M>>m，可认为火箭的总质量不变，所以F＝Mg，代入上式得，可得

由动能定理得，火箭对气体做的功为

所以发动机的功率为

五、牛顿第二定律和动量定理只适用于惯性参考系
在自然界中，不是所有的力学规律在任何参考系中都成立，因此研究力学问题要选择参考系。同样，牛顿第二定律和动量定理并不是在任意参考系中都是适用的，因此应用牛顿第二定律和动量定理时，参考系不能任意选择。牛顿第二定律及动量定理只适用于惯性参考系，如果在非惯性系中应用牛顿第二定律和动量定理，必须考虑惯性力的影响。
参考文献:
1 林辉．还牛顿第二定律的本来面目［J]．现代物理知识，2003，（4）：12
2 漆安慎．力学基础［M]．北京：人民教育出版社，1982．150～151
3 人民教育出版社物理室．物理教师手册[M］．北京：人民教育出版社，1998．14～574

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