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考研数学指导（17）计算极限小总结

2009-05-29 20:55阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1289613752

计算极限，第一步是，作好结构分析，判断极限类型。
（1）x趋于x0时，连续函数求极限——直接代入x0算函数值。要是再深入一点，有：
若f连续，u是x的函数，则x趋于x0 时，lim f（u）= f（lim u）
，比如，
因为绝对值函数连续，所以 lim|f（x）| = |lim f（x）|
因为对数函数连续，所以 lim ln u = ln ( lim u) ；------------------
（2）“0/0型未定式”—— 无穷小的高低阶比较
同学们在习题中，主要会遇到两类组合无穷小。第一类是等价无穷小相减产生的高阶无穷小；第二类是不同阶的无穷小的线性组合。不仿称后者为“多项式型无穷小”。
洛必达法则对第一类情形很有效。这类题目，往往分子是等价无穷小相减而分母是幂函数。连续使用洛必达法则就行。例如
x趋于0时， lim（x－sinx）∕x3 = 1/6 lim（ln(1+x) －x）∕x2 = －1/2
例 x趋于0，求 lim（√（1 +tgx）－√（1 +sinx））∕xsinx ln(1+2x)
分析 对分母作等价无穷小因式替换。sinx ～ x ，ln(1+2x) ～ 2x
有理化分子。即分子分母同乘以 √（1 +tgx）+√（1 + sinx）。由于x趋于0时，它的极限为2，因此分母乘以2就行了。以免将分母复杂化。可以把这个小技术称为“非零的因式可以先取极限”。
原极限 = lim（tgx－sin x）∕4 x3 = lim sin x（1 － conx）∕4 x3 = 1/8
使用洛必达法则之前，要尽可能地将商式化简。常用的化简手段有：
① 恒等变形——如，实施有理化，用三角公式等。
②（分子或分母的）等价无穷小因式替换——尽可能让分母为幂函数。
③ 非零的因式可以先取极限。
对第二类情形，洛必达法则有时会很无奈甚至失效。
例 x趋于0时 lim (atgx+b(1－cosx)) ∕((cln(1－2x)+d(ex－1－x)) =2 , a2+c2≠0
则必有 (A ) b = 4d (B) b = －4d (C) a = 4c (D) a = －4c
分析 只要基本材料熟悉，就能一眼看出，分子是一个 1 阶无穷小与一个 2 阶无穷小的线性组合。且分母也是如此。让分子分母同除.以x（同除.以商式中最低阶的无穷小。）各项的极限都存在。二阶项极限为0，正确答案不是 (A )或 (B)。
又因为 tgx ～ x ， ln(1－2x) ～－2x ，应该选 (D)
这也是“化零项法”。

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