考研数学指导（17）计算极限小总结(续)
2009-05-29 21:06阅读：
（3）“∞/∞型未定式”——无穷大的高低阶比较
计算∞/∞型未定式，在多项情形，首先考虑“化零项法”，
让分子分母同除.以商式中的最高阶的无穷大。
在指导(5)中，我们已经体念到，x趋于 +∞ 时，指数函数e x
是比任意高次方的幂函数x n
都还要高阶的无穷大；而对数函数lnx是比
pan LANG='EN-US'
XML:LANG='EN-US'>xδ，δ＞0
，都还要低阶的无穷大。
例 x 趋于 +∞ ，求 lim（x + e x－2 ln(1+
x)）∕（x3
+ 3 e
x）
分析 ∞/∞型未定式，分子分母同除.以商式中的最高阶的无穷大
e x
，极限为1/3
也可以用洛必达法则处理∞/∞型未定式。但感觉它更容易无奈或失效。
最有趣的例题是，x趋于 +∞，求 lim √（1
+ x2）∕x
，如果你用洛必达法则，它就逗你玩翻筋斗游戏。（画外音：要不，试试？）
（4）“幂指型未定式”——“1∞型”，“
∞∞型”，“00型” 未定式
处理幂指型未定式的基本方法是“取对数求极限法”。
由于有基本极限：x趋于∞时，lim（1+1/x）x = e ，因而可以用一个简单方法处理一般的“1∞型未定式”。
例 函数f (x)在点a可导,且f (a)≠0
，n趋于∞，求lim
(f (a+1/n)∕f
(a)) n
分析 n趋于∞时， lim f (a+1/n)
= f (lim
(a+1/n)=
f (a)，故原极限是1∞型未定式。
令 f (a+1/n)∕f (a) =
1+α(无穷小) ， α = （f (a+1/n)∕f
(a)）－
1
对原极限的指数部分作恒等变形 ：
n =
1/α·α·n
，“底数”（1+α）配上“指数”1/α 就构成基本极限形式。让我们先算
lim（α·n）
lim（α·n） = lim（f (a+1/n)
－f
(a)∕f
(a)）n
= (1/ f
(a))
· lim n (f
(a+1/n)
－f
(a)) =
f
ˊ(a)/
f (a)
原极限 =
lim（1+α）1/α·αn = exp(f ˊ(a)/
f (a))
（注，exp（x）表示e
x ）
