区分“在”与“过” 正确求切线
2010-04-02 08:51阅读：
区分“在”与“过”
正确求切线
----利用导数求曲线的切线的一个细节问题
数学中对一些关键的字词的理解往往是解决问题的思维关键点，而很多同学在审题时不去“咬文嚼字”,常常出错。比如在《导数》一章的学习中，求曲线的切线问题就有两个字对解题起关键作用，那就是“在”与“过”。
例1求曲线y=x3+3x-8在点A(2,6)处（或x=2处）的切线方程.
分析：这是教材上的一道习题，非常简单。
解：∵f
¢(x)=3x2+3，∴f¢(2)=15
即在点A(2,6)处切线的斜率为15.
∴在点A(2,6)处切线方程为y-6=15(x-2),即15x-y-24=0.
下面再看一道例题：
例2已知曲线y=3x-x3，求过点A(2,-2)的切线方程.
这道题与例1非常“像”，仅一字之差（“在”与“过”），但----
错解：显然点A在曲线y=3x-x3上，f¢(x)=3-3x2，所以f¢(2)=-9，
所以过点A(2,-2)的切线方程为y+2=-9(x-2)，即9x+y-16=0.
剖析：本题求的是经过点A的切线，而不是点A处的切线，因而不排除有其它切线经过点A，那么解决这样的问题的有效办法是抓住切点，利用切点既在切线上又在曲线上建立方程进行求解.
正解：设切点坐标为P(x0,y0)，则在点P处的切线方程为y-y0=(3-3x)(x-x0)，
因为过点A(2,-2)，且y0=3x0-x，
∴-2-(3x0-x)=(3-3x)(x-x0)，整理，得x2-3x+4=0，即(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2，
当x0=-1时，切点为(-1,-2)，此时切线方程为y=-2，
当x0=2时，切点为A(2,-2)，此时切线方程为9x+y-16=0，
∴过点A(2,-2)的切线方程为y=-2或9x+y-16=0.
小结：要注意区分切线是过某点的切线还是在某点的切线，即必须注意“在”与“过”的问题.因为“过”曲线上一点P的切线，点P未必是切点，而“在”曲线上一点P处的切线，则肯定是切点，因此，曲线在某点处的切线若有则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.
