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麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】

2021-01-20 08:41阅读：

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麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算
邱兆泰
摘要： 19世纪后期，麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组在物理上以“场”而不是以“力”作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符，从而揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美。并把这种优美以现代数学形式得到了充分的表达。为了让读者了解电磁学和麦克斯韦方程组,该文从一般数学和物理概念出发，描述了麦克斯韦方程组的组成及电磁场波动方程的推导过程，以及怎样从麦克斯韦方程组和波动方程计算出电磁波的速度。
关键词：电场 磁场 麦克斯韦方程组 波动方程 电磁波

麦克斯韦从麦克斯韦方程组预测了电磁波的存在，并计算出了电磁波的速度。这个速度与测量出的光速一致，于是麦克斯韦得出结论“光是一种按照电磁定律在场中传播的电磁扰动”。那么麦克斯韦是怎样从麦克斯韦方程计算出电磁波的速度的呢？
一、几个概念
在说麦克斯韦方程之前，先说研究几个概念。
（一）数学运算：
1 失量的乘法：点乘与叉乘
失量的点乘： 麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】

公式： 麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】= |A ||B| cosθ，点乘又叫失量的内积、数量积，是一个失量和它在另一个失量上的投影的长度的乘积；是标量。 点乘反映着两个失量的“相似度”，两个失量越“相似”，它们的点乘越大。
失量的叉乘： 麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】
公式： 麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】为失量积，其模长等于|A| |B| sinθ（在这里θ表示两失量之间的夹角0° ≤ θ ≤ 180°，它位于这两个矢量所定义的平面上。） 其方向为这两个失量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果失量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从A以不超过180度的转角转向B时，竖起的大拇指指向是C的方向。C= 麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】）
2 算子、梯度运算、散度运算和旋度运算、拉普拉子算子2
算子:Del（nabla）微分算子（），在三维情况下，事实上就是对三个正交方向进行偏导。其表达式为
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】，其中i、j、k分别为x、y、z三个方向的单位失量。
梯度运算:上面的Del（nabla）微分算子（）用于标量场，称之为梯度运算，得到的梯度为失量。表示一点处场随空间的变化率及这一点最陡峭的增加方向。
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】，这里ψ是标量场没有方向分量，但其结果是矢量。
散度运算和旋度运算:
上面的Del（nabla）微分算子（）用于失量场，有两种：
一种称之为散度运算，得到的散度为标量。表示场从一点流出的趋势。
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】，这里A是失量场分别有x、y、z的方向分量，其结果是标量。
另一种称之为旋度运算，得到的旋度为失量。表示场围绕一点环流的趋势，以及最大环流的轴向。
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】，这里A是失量场分别有x、y、z的方向分量，其结果是失量。
从以上公式可以推算标量场梯度的散度和标量场的梯度的旋度。
任意标量场梯度的散度，
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】 称为场的拉普拉子算子。
任意标量场的梯度的旋度，
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】。值为零。
另一个重要的恒等式：任意矢量场的旋度的旋度等于场的散度的梯度减去场的拉布拉斯运算，
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这个关系式中，利用了拉布拉斯的矢量形式，它是将拉布拉斯算子应用于矢量场的分量构建而成的，
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】（笛卡尔坐标系）
（二） 数学概念：
1矢量和标量
矢量：有方向的量。在几何空间中表示为有方向的线段，线段长度为其大小。
标量：没有方向的量。在几何空间中表示为没有方向的线段，线段长度为其大小。
2闭合曲面和非闭合曲面
闭合曲面：所谓闭合曲面就是形成封闭空间的面。比如一个球体的表面，一个长方体的表面，一个圆柱的表面。当然这是规则体的表面，也可以是不规则体的表面。只要是形成封闭空间的面，就是封闭曲面。
非闭合曲面：相反形不成封闭空间的曲面是非闭合曲面。
3通量和环流
麦克斯韦方程涉及到电通量和磁通量。
通量：穿过一个面的进（-）、出（+）矢量在垂直这个面的方向上的分量之和。
穿过闭合曲面的通量用积分形式表示，这里A是矢量场，积分符号上的表示闭合曲面。底部S是面积积分。是矢量点乘的意思。n是指曲面的法线(垂直于曲面)单位（长度等于1）矢量。对于闭合曲面，曲面将空间分为“内面”与“外面”，其单位法向量指向外面-离开曲面包围的空腔。点乘之后就是穿过面S的矢量垂直面的分量之和。
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】

环流：矢量场沿闭合线路的线积分称为场的环流。非闭合曲面的边缘路径是闭合的，因此，环流可以认为是矢量场A沿曲面边缘的闭合路径C的线积分。这里点乘是指A平行于dl的分量之和。
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4散度和旋度
散度：通量是矢量在曲面上穿入穿出的量度，散度则是矢量场在某点是散开还是汇聚之趋势的度量。任意一点的散度，可以定义为，当曲面所包围的体积趋近于零时，矢量A穿过曲面的通量与曲面所围成体积的比值。
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】
旋度：旋度是矢量场绕一点旋转趋势的度量。也就是围绕关注点无穷小路径dl的每单位面积S上的环流。其方向为环流最大曲面的法向量方向。任意一点的旋度可以定义为围绕着一点的无穷小路径上的环流与路径所包围的曲面面积的比值。
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4散度定理和斯托克斯定理
散度定理：矢量穿过闭合曲面S的通量等于S所包围的体积V中场的散度的积分。
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】
这个定理适用于连续并且连续可导的“平滑的”矢量场。对散度定理可以用下图理解：
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算【原创】
图1 矢量穿过闭合曲面S的通量等于S所包围的体积V中场的散度的积分
大家知道，任意一点的散度是当曲面所包围的体积趋近于零时，矢量A穿过曲面的通量与曲面所围成体积的比值。对于曲面S所围成的体积V，如上图所示。其内部的没有与曲面（V表面）接触的小立方体胞体，会与相邻胞体的六个面共面，图中只画出了部分胞体。在共用的面上，一个胞体的正（外）向通量与共面的相邻胞体的负（内）向通量大小相等，符号相反。由于内部所有胞体都跟相邻胞体共面，对总体通量的贡献为零。只有位于V的边界面即闭合曲面S的那些面，不与相邻胞体共有，才对穿过S的通量有贡献。所以，面S的通量积分等于体V的通量积分。
斯托克斯定理：矢量场在闭合路径C上的环流等于矢量场的旋度在以C为边界的曲面S上的法向分量积分。
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