“数学文化”案例-南开
2007-11-09 22:17阅读：
“数学文化”课的目的，是提高学生的数学素质。因此，课程不是以讲数学知识为主，而是以讲数学思想为主，以启发和提升学生的数学素养为主。作为载体的知识，可以尽量选得通俗一些，能说明问题就行。这也适应了听课学生数学水平参差不齐的状况。
下边用“数学文化”课中的实例，来说明在“数学文化”课中如何用浅显的数学知识为载体，进行数学素质的教育。
1．“化归”的思想
所谓“化归”，是把未知的、待解决的问题，转化为已知的、已解决的问题，从而解决问题的过程。这是数学工作者解决问题常见的思路。数学家波利亚用一个“烧水”的浅显例子，把“化归”的数学思想解释得非常明白。
他说，给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个空水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？你于是回答：把空水壶放到水龙头下，打开水笼头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。
他说，对，这个问题解决得很好。现在再问你一个问题：给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个已装了半壶水的水壶，让你烧一满壶开水，你又应该怎么做？然后波利亚说，物理学家这时会回答：把装了半壶水的壶放到水笼头下，打开水龙头，灌成一满壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。但是数学家的回答是：把装了半壶水的水壶倒空，就化归为刚才已解决的问题了。
这时，教师可以就此启发学生自己举例，说说自己过去在解决哪个数学问题时，用到过“化归”的思想。这样，学生就理解并记住了“化归”的思想，并且使之转化为自身的数学素养，今后会自觉地运用“化归”的思想。
2．纯存在性证明
数学上证明一个事物的存在，可以有两种途径，一种是构造性证明，即用某种方式把该事物构造出来；另一种是纯存在性证明，即用逻辑推理的方式证明该事物一定存在。
构造性证明人们很容易接受，但纯存在性证明就不太容易接受。下边用纯存在性证明的方法来证明：天津市南开区里，至少有两个人的头发根数一样多。
先通俗地解释一下“抽屉原理”：把4个苹果放到3个抽屉里，至少会有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。然后再用“抽屉原理”证明一个小命题，以加深对抽屉原理的理解。这个命题是：367个人中，至少有两个人会在同一天过生日。因为生日只论几月几号，不论年，而一年一般有365天，闰年366天，现在有367个人，所以至少有两个人的生日在同一天。
最后再来证明“南开区至少有两个人的头发根数一样多”。这是因为一个人的头发不会超过20万根，而南开区的人数多于20万，所以运用“抽屉原理”就知道，南开区至少有两个人头发根数一样多。这就是纯存在性证明，它证明了命题，但并未指出哪两个人头发根数一样多。这比通过数头发根数去找出两个人的构造性证明要高明，因为数头发根数很容易数错，更不用说由于数的时间过长，在数的过程中还可能掉头发。
这个例子一方面让学生知道了纯存在性证明是怎么回事，一方面也让学生感觉到数学上逻辑推理的强大威力，体会到数学的魅力。
3．“抽象”的观点
数学抽象大大高于其他学科的抽象。数学中，不仅概念是抽象的，而且方法、手段也是抽象的，结论也是抽象的。数学的这种抽象性，导致它应用的广泛性。所以，“抽象”的观点，是数学中一个基本的观点。下边举哥尼斯堡七桥问题为例，来说明“抽象”的观点。
哥尼斯堡是欧洲一个美丽的城市，有一条河流经该市，河中有两个小岛，岛与两岸间，岛与岛间有七座桥相连。人们晚饭后沿河散步时，常常走过小桥来到岛上，或到对岸。一天，有人想出一种游戏来，他提议不重复地走过这七座桥，看看谁能先找到一条路线。这引起许多人的兴趣，但尝试的结果，没有一个人能够做到。不是少走了一座桥，就是重复走了一座桥。
多次尝试失败后，有人写信求教于当时的大数学家欧拉。欧拉思考后，首先把岛和岸都抽象成“点”，把桥抽象成线。然后欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成“一笔画问题”：笔尖不离开纸面，一笔画出给定图形，不允许重复任何一条线，这简称为“一笔画”。需要解决的问题是：找到“一个图形可以一笔画”的充分必要条件，并且对可以一笔画的图形，给出一笔画的方法。
欧拉经过研究，完满地解决了上述问题，并且写成论文，在彼得堡科学院的讲台上宣读。欧拉把图形上的点分成两类：注意到每个点都是若干条线的端点，如果以某点为端点的线有偶数条，就称此点为偶节点；如果以某点为端点的线有奇数条，就称此点为奇节点。要想不重复地一笔画出某图形，那么除去起始点和终止点两个点外，其余每个点，如果画进去一条线，就一定要画出来一条线，从而都必须是偶节点。于是“一笔画”的必要条件是“图形中的奇节点不多于两个”。反之也对：如果图形中的奇节点不多于两个，就一定能完成一笔画。当图形中有两个奇节点时，以其中一个为起始点，另一个为终止点，就能完成一笔画。当图形中没有奇节点时，则从任何一个点起始都可以完成一笔画。（不会出现图形中只有一个奇节点的情况，因为每条线都有两个端点。）这样，欧拉就得出了图形可以一笔画的充分必要条件：图形中的奇节点不多于两个。再由此看哥尼斯堡七桥问题，图形中有四个奇节点，因此该图形不能一笔画。难怪对于“不重复地走过七座桥”的游戏，所有的尝试都失败了。
从这个例子中，我们深刻地感到数学抽象的强大威力，它也开创了拓扑学的先河。
4．数学中的“统一美”
研究偶然性内容的概率论，与研究确定性内容的平面几何，本来是两个不同的数学分支。但是，数学家蒲丰却用随机投针的方法去求圆周率。1777年的某一天，蒲丰把一些朋友请到家里。他事先在一张大白纸上画好了一条条等距离的平行线，又拿出许多质量均匀、长度为平行线距离一半的小针，请客人把针一根根随意扔到白纸上。蒲丰则在旁边计数，结果共投了2212次，其中与平行线相交的有704次。蒲丰随即用2212除以704，得，然后说，这就是圆周率的近似值。
这一试验让客人震惊，然而它却有数学依据。计算的值，是确定性问题，投针，却是随机性的方法。蒲丰成功地用随机性的方法解决确定性的问题，这反映了数学的“统一美”。
5．有限与无限
有限与无限是有本质区别的。初等数学主要研究常量，较多地用到有限；高等数学主要研究变量，较多地用到无限。所以搞清有限与无限的联系与区别，是重要的数学素养。
古希腊的哲学家芝诺，讲过四个悖论，我们借用其中一个，但是从数学角度看问题。
所谓悖论，就是有悖于常理的言论，就是一种自相矛盾。例如，“甲是乙”，“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错误的；但“本句话是七个字”，“本句话不是七个字”，这两个命题却都是对的。这就是一个悖论。
芝诺讲了一个“阿基里斯追不上乌龟”的悖论。阿基里斯是古希腊神话中跑得最快的神，而乌龟是爬得很慢的动物，即使让乌龟先爬出一段路，阿基里斯也应该很快能追上乌龟。芝诺却说，他可以证明，阿基里斯永远也追不上乌龟。
芝诺是这样证明的。假设乌龟先爬出一段距离到达点，阿基里斯要想追上乌龟，首先得跑到点。当阿基里斯跑过距离到达点时，乌龟同时又爬出一段距离到达点。阿基里斯要想追上乌龟，就又得跑到点。当阿基里斯又跑过距离到达点时，乌龟同时又爬出一段距离到达点。这样下去，阿基里斯跑到点时，乌龟又爬到点了，阿基里斯跑到点时，乌龟又爬到了点了。如此这般，阿基里斯岂不是永远也追不上乌龟了？
这个悖论的症结在哪里呢？学生会积极思考，踊跃回答的。教师应逐渐引导学生认识到：表面上看起来阿基里斯要想追上乌龟需要跑无穷段路程，由于是无穷段，所以感觉永远也追不上；实际上这无穷段路程的和却是有限的，所以阿基里斯跑完这段有限的路程后，其实已经追上了乌龟了。
关于“无穷段路程的和可能是有限的”，可以让学生回忆无穷递缩等比数列的和。这样的数列有无穷多项，这无穷项的和却是有限的。芝诺故意把有限的路程巧妙地分割成无穷段路程，让人产生一种错觉，以为是永远也追不上了。
还可以再举一些有限与无限的例子，去说明：无限的本质，是真子集与全集可以有一一对应。例如，全体自然数的一个真子集是全体正偶数，但却是这两个集合间的一一对应。所以，“部分量小于全量”的命题，只对有限集是正确的。
以上举了一些例子，是想说明在“数学文化”课中，如何用尽可能浅显的知识为载体，去讲清数学的思想、方法、精神，去进行数学素质的教育。当然，有些数学思想的阐明，不得不采用稍微高深一点儿的知识为载体，这也是必要的，特别是当听课学生的数学水平较高时，是完全可行的。例如，从研究欧氏第五公设出发，讲一点儿非欧几何及其中的数学思想。再例如，从公理化方法的“相容性、独立性、完全性”出发，讲一点儿哥德尔的“不完全性定理”及其中的数学思想，学生都会受益匪浅的。
